第二章求解线性方程组的数值解法 武汉大学数学与统计学院
第二章 求解线性方程组的数值解法 武汉大学数学与统计学院
n阶线性方程组: aux+anx2++aux=b ax+a2x2++a nx=b2 anxi+amx++amx=b 矩阵表示记为AX=b 这里A=[anm,X=(x1,…,xn),b=(b bn) 解线性方程组的两类方法: 直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法 (不计舍入误差!) 迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷 序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解)
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 阶线性方程组： [ ] , X , 1 1 T ij n n AX b T A n n a b (x (b , , ) , , ) x b = = = = 矩阵表示记为 这里 解线性方程组的两类方法: 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法 (不计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷 序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解)
§21解线性方程组的直接法 §211高斯消去法和选主元高斯消去法 高斯消去法 思首先将方程组4xb化为上三角方程组, 路此过程称为消去过程,再求解上三角方程 组,此过程称为回代过程
§2.1 解线性方程组的直接法 一、高斯消去法 思 路 首先将方程组Ax=b 化为上三角方程组， 此过程称为消去过程，再求解上三角方程 组，此过程称为回代过程. §2.1.1 高斯消去法和选主元高斯消去法
消去过程: 己4)=A=(a0),b(1)=b=(h1)b(1))7 (1) 第一步:设d1≠叶针算因子1= (1) 将增广矩阵的第i行+l×第1行,得到 其中 12 In b 2 2.3.….n A42 b2=bo+1bo
将增广矩阵的第 i 行 + l i1 第1行，得到： 记 ( ) , (1) (1) A = A = aij nn (1) (1) (1) ( ) 1 T b b b b n = = 消去过程： 第一步：设 ，计算因子 0 (1) a11 (1) 11 (1) 1 1 a a l i i = − (1) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 a a ... a n b (2) A (2) b 其中 = + = + = (1) 1 1 (2) (1) (1) 1 1 (2) (1) , , 2,3, , b b l b a a l a i j n i i i i j i j i j
第k步:设≠叶计算因子l1=-a)1a(i=k+1,,m) 且计算{4" (k) (k+1) (k) b (k) kk (ij=k+1,…,n) 共进行n-1步,得到 (1) (1) n b1) 11 1 (2) 2 2 (n)
0 ( ) k 第k步：设 akk ，计算因子 且计算 ( ) ( ) / ( 1, ..., ) k k ik ik kk l a a i k n = − = + ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( , 1, ..., ) k k k ij ij ik kj k k k i i ik k a a l a b b l b i j k n + + = + = + = + 共进行 n − 1步，得到 = ( ) (2) 2 (1) 1 2 1 ( ) (2) 2 (2) 2 2 (1) 1 (1) 1 2 (1) 1 1 . . . . . . . . . ... ... ... n n n n nn n n b b b x x x a a a a a a