数值分析 非线性方程的牛顿法 (Newton Method of Nonlinear Equations 邹秀芬教授 数学与统计学院
数值分析 非线性方程的牛顿法 (Newton Method of Nonlinear Equations ) 邹秀芬教授 数学与统计学院
内容提纲( Outline) 牛顿法及其几何意义 收敛性及其收敛速度 计算实例及其程序演示
内容提纲（Outline) ➢ 牛顿法及其几何意义 ➢ 收敛性及其收敛速度 ➢ 计算实例及其程序演示
牛顿法及其几何意义 基本思路:将非线性方程fx)=0线性化 取xo作为初始近似值,将fx在x做 Taylor展开: f(x)=(x)+(x)x-x2) Newton 迭代公式 f(x 0=f(x*)≈f(x)+f(x0)(x*-x0 x1=x0-(x)作为第一次4似值 f(x0) f(n) 重复上述过程→k+1 k f(xk)
取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开: 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2! f f x f x f x x x x x = + − + − 0 0 0 0 ( *) ( ) ( )( * ) = + − f x f x f x x x 0 0 0 ( ) * ( ) f x x x f x − 1 ( ) ( ) k k k k f x x x f x + = − 重复上述过程 0 1 0 0 ( ) ( ) f x x x f x = − 作为第一次近似值 一、牛顿法及其几何意义 Newton 迭代公式 基本思路：将非线性方程f(x)=0 线性化
牛顿法的几何意义 Tangent line: y=f(o)+f(xo(x-xo f(x0) f(xo) 2=4、了(x1) f(x1) 牛顿法也称为切线法
牛顿法的几何意义 x y x* x0 0 1 0 0 ( ) ( ) f x x x f x = − x 1 x 2 0 0 0 Tangent line y f x f x x x : ( ) ( )( ) = + − 1 2 1 1 ( ) ( ) f x x x f x = − 牛顿法也称为切线法
二、牛顿法的收敛性与收敛速度 (局部收敛性定理)设∫(x)∈C{a,b,若x*为∫(x) 在[a,b上的根且f(x*)≠0,则存在x*的邻域U。(x*) 使得任取初始值x∈U(x*), Newton法产生的序列 xk}收敛到x*,且满足 k+1 x*|f"(x) k-头 2|f(x-*) 至少平方收敛
（局部收敛性定理） 设 f (x)C2 [a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根,且 f (x*) 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初始值 ，Newton 法产生的序列 { xk } 收敛到 x* ，且满足 U x( *) 0 x U x( *) 1 2 | *| | ( *) | lim | *| 2 | ( *) | k k k x x f x x x f x + → − = − 至少平方收敛 二、牛顿法的收敛性与收敛速度