练习12-1 试说出下列各微分方程的阶数 (1)x(y)2-2y+x=0; 解一阶 (2)x2y-xy+y=0 解一阶 (3)xy"+2y+x2y=0; 解三阶 (4)(7x-6y)dhx+(x+y)d=0:
练习 12-1
解一阶 (5)L g+9=0 解二阶 (6)%+p=sin26 解一阶 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解 (1)xy'=2y,y5 解y=10x 因为xy′=10x2=2(5x2)=2y,所以y=5x2是所给微分方程的解
(2)y'+y=0, y=3sin.x-4cosx 解y=3cosx+4sinx 因为y2+y=3cosx+4sinx+3sinx-4cosx=7sinx=cosx≠0, 所以y=3sinx-4cosx不是所给微分方程的解 (3y"-2y2+y=0,yxe; 解y=2xe+x2e, 2e+2xe+2xe+x e=2e+4re+re 因为y-2y+y=2e2+4xe+x2e-2(2e+x2)x2e=2e≠0, 所以y=xe不是所给微分方程的解 (4)y-(21+)y+l12y=0,y=Cex+C2ex
解y=C1e4x+C2l2ex, y=Che+C2n2egx 因为y”-(41+22)y2+412 =C12e2x+C2e2x-(1+2C1ex+C22e2)+12(Ce+C2e3x) 所以y=Ce4x+C2ex是所给微分方程的解 3.在下列各题中,验证所给二元方程所确定的函数为所给微 分方程的解: (1)(x-2y)y=2x-y,x2-xy+y=C;
解将x2-xy+y2=C的两边对x求导得 2x-y-xy2+2yy=0, 即(x-2y)y=2x-y 所以由x2-x+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解 (2)(cy-xy+xy+yy'-2y=0, y=In(cy)