第4章二元关系和函数 (5)R2={(x,y)kx,y是实数},R2为笛卡儿 平面。显然R3为三维笛卡儿空间。 显然A×B与B×A所含元素的个数相同(A,B是有 限集合),但A×B+B×A 定理41.1若A,B是有穷集合,则有 B=|B|(为数乘运算) 该定理由排列组合的知识不难证明
第4章 二元关系和函数 （5） R 2=｛〈x, y〉|x , y是实数｝， R 2为笛卡儿 平面。 显然R 3为三维笛卡儿空间。 显然A×B与 B×A所含元素的个数相同（A, B是有 限集合）， 但A×B≠B×A。 定理4.1.1 若A, B是有穷集合， 则有 |A×B|=|A|·|B| (·为数乘运算) 该定理由排列组合的知识不难证明
第4章二元关系和函数 定理412对任意有限集合A1,A An,有 1×A2××An=A1….n(为数乘运算) 这是十分直观的,可用归纳法证明之
第4章 二元关系和函数 定理4.1.2 对任意有限集合A1， A2 , …， An， 有 |A1×A2×…×An |＝|A1 |·… ·|An | (·为数乘运算) 这是十分直观的， 可用归纳法证明之
第4章二元关系和函数 定理413(笛卡儿积与∪,∩,~运算的性质)对 任意的集合A,B和C,有 (1)A×(B∪C)=(4×B)∪(A×C) (2)A×(B∩C=(A×B)∩(A×C (3)(B∪C)×A=(BXA)∪(C×A) (4)(B∩C)×A=(B×A)(C×A) (5)A×(BC)=(4×B)-(4×C (6)(BC)XA=(B×A)(C×A
第4章 二元关系和函数 定理4.1.3 (笛卡儿积与∪， ∩， ～运算的性质) 对 任意的集合A, B 和C， 有 （1） A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) （2） A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) （3） (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A) （4） (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A) （5） A×(B-C)＝(A×B)-(A×C) （6） (B-C)×A＝(B×A)-(C×A)
第4章二元关系和函数 证明我们仅证明(1)和(5),其余完全类似。 (1)对任意x,y,有 (x,y〉∈A×(B∪C分x∈A∧y∈(B∪C) →x∈A∧(y∈BVy∈C) →(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) (x,y)∈A×BV〈x,y)∈AXC 令→(x,y)∈(A×B)∪(A×C)
第4章 二元关系和函数 证明 我们仅证明（1）和（5）， 其余完全类似。 （1） 对任意x， y， 有 〈x, y〉∈A×(B∪C) x∈A∧y∈(B∪C) x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) 〈x, y〉∈A×B∨〈x, y〉∈A×C 〈x, y〉∈(A×B)∪(A×C)
第4章二元关系和函数 为证(5)式,设(x,y)为A×(B-C)中任一序偶, 那么x∈A,y∈B,ygC,从而〈x,y)∈A×B, (x,y)A×C,即〈x,y)∈A×B-A×C,A×(BC (A×B)-(4A×O)得证。另一方面,设(x,y)为 (A×B)-(4XO中任一序偶,那么(x,y)∈AXB,(x, y)∈AXC,从而x∈A,y∈B,ygC(否则由于x∈A, (x,y)∈A×C),故可知y∈B-C, X ∈A×(B-C),于是(4×B)(A×C)A×(B-C)得证 这就完成了A×(BC)=(4AXB)(×C)的证明
第4章 二元关系和函数 为证（5）式， 设〈x, y〉为A×(B-C)中任一序偶， 那么x∈A, y∈B， y C， 从 〈x, y〉∈A×B， 〈x, y〉 A×C， 即〈x, y〉∈A×B-A×C, A×(B-C) (A×B)-(A×C) 得证。 另一方面， 设〈x, y〉为 (A×B)-(A×C)中任一序偶， 那么〈x, y〉∈A×B， 〈x, y〉 A×C， 从而x∈A， y∈B, y C（否则由于x∈A， 〈x, y〉∈A×C ）， y∈B-C， 〈x, y〉 ∈A×(B-C)， 于是(A×B)-(A×C) A×(B-C)得证。 这就完成了A×(B-C)＝(A×B)-(A×C)的证明。