简单迭代法的收敛性和收敛速度 1.收敛的充要条件 设x=B+g有唯一解x, 简单迭代法为x(6)=B()+g,k=12, 故 x=b( (k-1)-x B^( X 定理1简单迭代法=B+g,k=0,…,对 任意初始向量ⅹ0都收敛的充要条件是: a li B=0 k→0 b.迭代矩阵的谱半径p(B)<1 2004-11-10 16
2004-11-10 16 二.简单迭代法的收敛性和收敛速度 1. 收敛的充要条件 定理1.简单迭代法 ， ，对 任意初始向量 xv(0) 都收敛的充要条件是： x Bx g r k r k r = + ( +1) ( ) k = 0,1,L 简单迭代法为 . L r v v, 1,2, ( ) ( 1) = + = − x Bx g k k k ( ) ( ) ( ) * ( 1) * (0) * x x B x x B x x k k k r v L v v v v − = − = = − 故 − 设 有唯一解 ，* xr x Bx g v r r = + lim = 0 →∞ k k a. B b. 迭代矩阵的谱半径 ρ(B) < 1
收敛的充要条件(续) 证明:a充分性: ,则由 lim b=o x(k)-x*=Bk(x0)-x*) k→∞ 知对于任意初始向量x(0,imx()=x k→ b必要性:用b表示B的(i)元素,简单迭代对 任意初始向量x有limB(x0-x)=0.设B不趋 于零,则必有位置(pq)使b不趋于零。取第q 个单位向量-0作为x-x 2004-11-10 17
2004-11-10 17 收敛的充要条件（续） = 0 0 1 0 M M r q e 作为 (0) ，* x x v v − 证明： b.必要性：用 表示 的（i,j）元素，简单迭代对 任意初始向量 有 .设 不 趋 于零，则必有位置（p,q）使 不趋于零。取第 q k bij k B (0) x v lim ( ) 0 (0) * − = → ∞ B x x k k v v k B k pq b 个单位向量 a.充分性： ， 则 由 lim = 0 → ∞ k k B x （k） x * B （ k x （0） x * ） v v v v − = − (0) x v ( ) * lim x x k k v v = → ∞ 知对于任意初始向量 ，