续 其中C=-,k(k-1)…(k-m+1),m>k时C=0 (m=1,2,,n2-1)不难看出IimJ4=0的充要条件为 limx=0(i=1,2…,r) k→ 即14<1D(B)<1 从而limJ=0m(B)<1 故1imB=0台p(B)<1 证毕 2004-11-10 11
2004-11-10 11 续 其中 ， 时 ， 不难看出 limk→∞ Jik = 0 的充要条件为 ( 1) ( 1) ! 1 = k k − k − m + m C mk L = 0 m Ck , − 1) L ni (m = 1,2, m > k lim = 0 （i = 1，2L,r） →∞ k i k λ 即 λi <1⇔ ρ(B) <1 lim 0 ( ) 1 ( ) = ⇔ < →∞ J B k i k 从而 ρ lim = 0 ⇔ ( ) <1 →∞ B B k k 故 ρ 证毕
定理 limA)=0÷lim4x=0,x∈R k k 证明:必要性是显然的。 充分性取x为第个单位向量 e,=(0,…,0,1,0,…,0) 这意味着A6的第列元素极限为零。 取i=1,2,…,n,则充分性得证 证毕 2004-11-10 12
2004-11-10 12 定理 k n k k k A = ⇔ A x = ∀x ∈ R →∞ →∞ v v 0 0, ( ) ( ) lim lim 证明： 必要性是显然的。 T i e (0,L,0,1,0,L,0) v = 取 为x 第i个单位向量 充分性 v 0, ( ) lim = →∞ i k k A ev 则 这意味着A(k)的第i列元素极限为零。 取i＝1，2，…，n，则充分性得证。 证毕
§6.2迭代法的基本理论 迭代法的一般格式为 ∫(x(),(-1,…,xm)k=m,m+1, 因为计算x(+)一般要用到前面多步的值x,x1)…xm 故称为多步迭代法 若m=0,即x=f(x),=0.1…,称为单步 迭代法 若fk为线性的,即x=B1x+8,k=01…, 称为单步线性迭代法,B称为迭代矩阵 若B2,8k与k无关,即x=Bx)+g,k=0,1,, 称为单步定常线性迭代法,或者叫简单迭代法。本 章主要讨论简单迭代 2004-11-10 13
2004-11-10 13 §6.２迭代法的基本理论 迭代法的一般格式为 ( , , , ) ( 1) (k ) (k 1) (k m) k k x f x x x + − − = v L v v v k = m,m +1,L 因为计算 一般要用到前面多步的值 故称为多步迭代法。 (k+1) xv ( ) ( 1) ( ) , , , k k k m x x x v v − L v − 若 ，即 ， ，称为单步 迭代法。 ( ) ( 1) (k ) k k x f x v v = + m = 0 k = 0,1,L k k k k x B x g v v v = + ( +1) ( ) k = 0,1,L Bk 若 为线性的，即 ， ， 称为单步线性迭代法， 称为迭代矩阵。 k f gk v Bk x Bx g v k v k v = + 若 ， 与 ( +1) ( ) k无关，即 , k=0,1,…， 称为单步定常线性迭代法，或者叫简单迭代法。本 章主要讨论简单迭代
简单迭代法的构造 设要求解的线性方程组为A=b,其中A为非奇异 矩阵,b为向量 将该方程组等价变形为x=Bx+8构造简单迭代格 式xk=Bx+g,k=01…。若與}收敛于确定的 向量x,则x就是方程组的解。此时称简单迭代法 4}=B+g,k=0,1…关于初始向量x0收敛。 2004-11-10
2004-11-10 14 一 .简单迭代法的构造 设要求解的线性方程组为 ，其中 为非奇异 矩阵， 为向量。 Ax b v v = b v A 将该方程组等价变形为 构造简单迭代格 式 ， 。若 收敛于确定的 向量 ，则 就是方程组的解。此时称简单迭代法 ， 关于初始向量 收敛。 x Bx g v v v = + { } (k ) x L v x Bx g k = 0,1, v k v k v = + ( +1) ( ) * x v * x v x Bx g v k v k v = + ( +1) ( ) k = 0,1,L (0) xv
简单迭代法的构造(续) ①如果对初始向量, ,则称此简单迭 x lin Imx k→∞ 代法关于初始向量≯收敛。一般谈及收敛,是指 对任意x0,均有limx6=x → ②同一个简单迭代法可以关于某一个x收敛,而关 于另外x不收敛。 ③A=b变形为x=B+g的方式不唯一。 ④当收敛时,只要k充分大,则可用x4作为x的 近似值。 2004-11-10 15
2004-11-10 15 简单迭代法的构造（续） ①如果对初始向量 ， ，则称此简单迭 (0) xv ( ) * lim x x k k v v = →∞ 代法关于初始向量x (0)收敛。一般谈及收敛，是指 v 对任意 ，均有 . (0) xv ( ) * lim x x k k v v = →∞ ③ 变形为 x Bx g 的方式不唯一。 v v r Ax b = + v v = ②同一个简单迭代法可以关于某一个 收敛，而关 (0) xv 于另外 x (0)不收敛。 v ④ 当收敛时，只要k 充分大，则可用 xv（k+1）作为 x* 的r 近似值