紧束缚近似的出发点是:电子在一个原子附近时,将主要受到该原子势作 用,其它原子势作用弱,可当作微扰作用。此时晶体中电子的波函数不能用自 由电子波函数表示,而是应用所有原子的电子波函数的线性组合来表示,即 vr)=∑qr-R)k 式中,R=1+1a2+2是晶体中第个原子的位矢,n(r-R)是将 该原子视为孤立原子时定域波函数(作为万尼尔函数) 它应该满足如下方程 V2+U(r-R,o(r-R)=EP(r-R) 2m 其中,U(x-R)是第个原子势,E是与本征态n相对应的本征能量(能 级)。该式忽略了其它原子的影响
紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子势作 用，其它原子势作用弱，可当作微扰作用。此时晶体中电子的波函数不能用自 由电子波函数表示，而是应用所有原子的电子波函数的线性组合来表示，即： 式中， 是晶体中第l个原子的位矢， 是将 该原子视为孤立原子时定域波函数（作为万尼尔函数）。 它应该满足如下方程： 其中， 是第l个原子势， 是与本征态 相对应的本征能量（能 级）。该式忽略了其它原子的影响。 ik R l n n l e ⋅ ψ(r) = ∑ϕ (r − R ) Rl l1 a1 l2a2 l3a3 = + + ( ) ϕn r − Rl ( ) ( ) ( ) 2 2 2 U l n l E n n l m r R r − R = r − R − ∇ + − ϕ ϕ U(r − Rl) E n ϕn
万尼尔函数 由于布洛赫函数是倒点阵的周期函数,可以按正格矢展开 ψ(k)=ψ a elk.R 其中an(R1,7)称为万尼尔函数 iR.R L e ψ(7 1k(+R)(-R k 万尼尔函数只是宗量(-R1)的函数,也就是一个点R为中心的局域函数, 记为an(E,)=an(r-R) 万尼尔函数构成正交、完备的函数集
万尼尔函数 • 由于布洛赫函数是倒点阵的周期函数，可以按正格矢展开 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘 = 𝜓𝜓𝑘𝑘+𝐾𝐾ℎ 𝑛𝑛 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁� 𝑙𝑙 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑅𝑅𝑙𝑙, 𝑟𝑟 ⃗ 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑅𝑅𝑙𝑙 其中𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑅𝑅𝑙𝑙, 𝑟𝑟 ⃗)称为万尼尔函数 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑅𝑅𝑙𝑙, 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁� 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑅𝑅𝑙𝑙𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘� 𝑟𝑟⃗−𝑅𝑅𝑙𝑙 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑛𝑛(𝑟𝑟 ⃗ − 𝑅𝑅𝑙𝑙) 万尼尔函数只是宗量 𝑟𝑟 ⃗ − 𝑅𝑅𝑙𝑙 的函数，也就是一个点𝑅𝑅𝑙𝑙为中心的局域函数， 记为𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑅𝑅𝑙𝑙, 𝑟𝑟 ⃗ = 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑟𝑟 − 𝑅𝑅𝑙𝑙 万尼尔函数构成正交、完备的函数集