《电动力学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 静电场 2.3 拉普拉斯方程、分离变量法

电动力学第二章二、拉普拉斯方程通解的形式>直角坐标系中的通解(x, y) =(Agx+ B.)(Coy+ D)+(A, sink,x+ B, cosk,x)(C, sinhk,y+D, coshk,y)n=l球坐标系中的通解i0(r,0)=Z (a,r" +)(cosO>圆柱坐标系中的通解p(r,0) = E[r"(A, sin no + B, cos n0)+ r-" (C, sin no + D, cos no)

电动力学 第二章 二、拉普拉斯方程通解的形式 ➢直角坐标系中的通解 1 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r    + = +  0 0 0 0 1 ( , ) ( )( ) ( sin cos )( sinh cosh ) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y   = = + + + + +  ➢ 球坐标系中的通解 ➢ 圆柱坐标系中的通解 1 ( , ) ( sin cos ) ( sin cos ) n n n n n n n r r A n B n r C n D n        = − = +   + +   

电动力学第二章二、拉普拉斯方程通解的形式球坐标系中的通解0(r,0)=Z (a,r" + (cos0勒让德函数d"(x? -1)"nP,(cos0)= P,(x)dx"2"n!P,(x) = 1P,(x)= X = cosoP,(x) = =(3x2 - )

电动力学 第二章 球坐标系中的通解 1 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r    + = +  勒让德函数 2 ( 1) (c o s ) ( ) 2 ! n n n n n n n d x P P x n d x  − = =  0 P x ( ) 1 = 1 P x x ( ) c o s = =  2 2 1 ( ) (3 1) 2 P x x = − 二、拉普拉斯方程通解的形式

电动力学第二章例1半径为R的接地导体球，位于均匀外电场E中，求电势函数。解：建立如图球坐标系ZE显然球内电场为零，设球外电势为由对称性，=01,0），满足o:V20= 0A通解为：p(r,0)=E (a,r" +-)P,(cos0)n+n=0边界条件：r→o Φ=-Ercos0①r=R Φ=0②

电动力学 第二章 例1 半径为R的接地导体球，位于均匀外电场 E0 中，求电势函数。 E0 O 解: 建立如图球坐标系 z 显然球内电场为零，设球外电势为φ， 由对称性，    = （ r , ） ，满足 2  =  0 通解为: 1 0 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r     + = = +  边界条件: 0 cos 0 r E r r R    →  = − = = ① ②

电动力学第二章例1半径为R的接地导体球，位于均匀外电场E中，求电势函数。解：通解ZEnp(r.0)=Z(a,+),(cos0)n=0边界条件： r→8 β=-Ercos①o:r=R =0②AZa,r"P,(cos0)= -Egrcoso由①得n: α,=-E。 a,=0(nl)P,(x) = 1RP,(cos0)=0由②得-E,RcosO+Z-P(x)=coso: b =E.R3 b, =0(n±1)

电动力学 第二章 由①得 0 (cos ) cos n n n n  a r P E r   = − 由②得 0 1 cos (cos ) 0 n n n n b E R P R   + − + =  E0 O 解: 通解 z 1 0 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r     + = = +  边界条件: 0 cos 0 r E r r R    →  = − = = ① ② 0 P x ( ) 1 = 1 P x( ) cos =  1 0 0( 1) n  = − =  a E a n 3 1 0 0( 1) n  = =  b E R b n 例1 半径为R的接地导体球，位于均匀外电场 E0 中，求电势函数

电动力学第二章例1半径为R的接地导体球，位于均匀外电场E中，求电势函数。解：通解ZEg(.0)=≥(a.r+)(co)n=0边界条件： r→β=-EgrcosQo:r=R Φ=01解得：a, =-E。,α, =0(n±1),b, =ER3 b, = 0(n±1)0=-EgrcosO+E,r cos?均匀外场的势感应电荷的势

电动力学 第二章 3 0 0 2 cos cos E r E R r   = − +   均匀外场的势 感应电荷的势 E0 解: 通解 1 0 ( , ) ( ) (c o s ) n n n n n n b r a r P r     + = = +  边界条件: 0 cos 0 r E r r R    →  = − = = 1 0 0( 1) n a E a n = − =  ， ， 3 1 0 0( 1) n b E R b n = =  解得: O z 例1 半径为R的接地导体球，位于均匀外电场 E0 中，求电势函数