第五章电磁波的辐射电磁辐射一.不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。本章主要研究高频交变电流产生的电磁辐射。二．引入矢势和标势可以更方便的求解电磁辐射问题与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的失势、标势与静电场情况有很大的不同。三．辐射问题的本质也是边值问题变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电荷、电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界情况很复杂，使得电荷、电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。s5.1电磁场的失势和标势85.2推迟势教学目标：1.理解时变电磁场矢势和标势，理解并掌握规范变换和洛伦兹规范条件，知道达朗贝尔方程及其解推迟势；2.会根据时变场性质引入势函数描述时变场，能够应用洛伦兹变
第五章 电磁波的辐射 一． 电磁辐射 不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场 以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。 本章主要研究高频交变电流产生的电磁辐射。 二． 引入矢势和标势可以更方便的求解电磁辐射问题 与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的 场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋 度不为零，这里引入的失势、标势与静电场情况有很大的不同。 三． 辐射问题的本质也是边值问题 变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来影响电荷、电 流分布。空间电磁场的分布就在这一对矛盾相互制约下形成的。变化 的电荷、电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑它们的边界条 件和边值关系。但是，一般情况下这种的边界情况很复杂，使得电荷、 电流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅讨论 电荷、电流分布为已知的辐射问题。 §5.1 电磁场的矢势和标势 §5.2 推迟势 教学目标： 1.理解时变电磁场矢势和标势，理解并掌握规范变换和洛伦兹规 范条件，知道达朗贝尔方程及其解推迟势； 2.会根据时变场性质引入势函数描述时变场，能够应用洛伦兹变
换推导达朗贝尔方程；3.深刻理解用场方程和势函数描述电磁场的思想方法4.了解电磁波的辐射和接收在实际应用中的重要应用和意义。课程思政：认识电磁波的辐射和接收是实际社会生产生活中的重要问题，提升学习电磁波辐射理论并在实际生产中创新应用的社会责任感。教学时长：2学时教学重点：时变电磁场矢势和标势，规范变换，洛伦兹规范条件，达朗贝尔方程，推迟势。教学难点：规范变换和规范不变性，时变场势函数与静场势函数的异同，对推迟势的理解。教学方法：讲授法、讨论法、演示法。教学内容：一、电磁场的矢势和标势1.矢势的引入由于V·B=0（与静电场相同），可以引入矢势A，使得B-VxA注意：①与静磁场不同，这里引入的矢势与时间相关②矢势的意义与静磁场情况相同，即A·di=「B.ds。1's2.标势的引入
换推导达朗贝尔方程； 3.深刻理解用场方程和势函数描述电磁场的思想方法； 4.了解电磁波的辐射和接收在实际应用中的重要应用和意义。 课程思政：认识电磁波的辐射和接收是实际社会生产生活中的重要问 题，提升学习电磁波辐射理论并在实际生产中创新应用的社会责任 感。 教学时长：2学时 教学重点：时变电磁场矢势和标势，规范变换，洛伦兹规范条件，达 朗贝尔方程，推迟势。 教学难点：规范变换和规范不变性，时变场势函数与静场势函数的异 同，对推迟势的理解。 教学方法：讲授法、讨论法、演示法。 教学内容： 一、电磁场的矢势和标势 1.矢势的引入 由于 B = 0 （与静电场相同），可以引入矢势 A ，使得 B A = 注意： ①与静磁场不同，这里引入的矢势与时间相关； ②矢势的意义与静磁场情况相同，即 = L S A dl B dS 。 2.标势的引入
在变化电磁场情况，V×E=-B≠0，不能象静电场那样直接引入at标量势函数。但是，由B=V×A和电场的旋度方程可以得到：%vxA=-Vx2,VxE=-atat移项并合并得：aAVx(E+=0at因此可以引入标量势函数?，使得E+aA=-V,at引入后电场强度：aAE=-Vp-at二、规范变换和规范不变性1.规范变换同静场相同，这里引入的矢势和标势也不唯一，但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一定的关系。规范：给定一组(A，)称为一种规范；规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。两种规范间的变换关系式：A'=A+Vy0'=0-at证明：
在变化电磁场情况， 0 = − t B E ，不能象静电场那样直接引入 标量势函数。但是，由 B A = 和电场的旋度方程可以得到： t A A t E = − = − ， 移项并合并得： ( ) = 0 + t A E 因此可以引入标量势函数 ，使得 = − + t A E ， 引入后电场强度： A E φ t 二、规范变换和规范不变性 1．规范变换 同静场相同，这里引入的矢势和标势也不唯一，但是矢势和标势 在变化电磁场情况相互间有一定的关系。 规范：给定一组 (A, ) 称为一种规范； 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换。 两种规范间的变换关系式： A A ψ ψ φ φ t 证明：
由于A和A，和y没有改变电场和磁场强度，所以B=VxA'=VxA'+0=VxA'-VxV=VxA即A'=A+Vy。OA--0'--.%--V(0*+Oy)aaE--Vp'-9又atatatatat0%ay故0=0-0规范不变性：在规范变换下电磁场的强度、方程保持不变的性质。规范场：运动方程具有规范不变性的场称为规范场。2.两种规范要使势函数减少任意性，必须给出√.A，它的值被称为规范的辅助条件。V·A值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。1）库仑规范规范条件：.A=0（即定义A为无源场）。在这一条件下的(A，)称为库仑规范。在库仑规范下，A为横场，Vβ纵场。因此，电场的横场部分完全有A决定，而纵场部分完全有β决定。在这种情况下，β由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场满足的方程：2w=0（即满足拉普拉斯方程）证明：:V.A-V.A+V.Vy=0，:V=0。2）洛仑兹规范
由于 A 和 A ， 和 没有改变电场和磁场强度，所以 B A A A A = = + 0 = − = 即 A = A + 。 又 t A t t t A t A E − = − + − = − − = − − ( ) = t − − ， 故 t = − 规范不变性：在规范变换下电磁场的强度、方程保持不变的性质。 规范场：运动方程具有规范不变性的场称为规范场。 2.两种规范 要使势函数减少任意性，必须给出 A ，它的值被称为规范的辅 助条件。 A 值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单， 基本方程对称或物理意义明显。 1）库仑规范 规范条件： A = 0 （即定义 A 为无源场）。 在这一条件下的 (A, ) 称为库仑规范。在库仑规范下， A 为横场， 纵场。因此，电场的横场部分完全有 A 决定，而纵场部分完全有 决定。在这种情况下， 由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的 电势类似，因此称为库仑场。 满足的方程： 0 2 = （即 满足拉普拉斯方程） 证明：∵ A = A + = 0 ，∴ 0 2 = 。 2）洛仑兹规范
.4+1-0规范条件：c2at后面将看到在洛仑兹规范下，A所满足的方程具有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。w-10-0满足的方程：（即满足波动方程）Wc2 at?证明："V.A+111y=V.A+V.VV+a?2at10)=0,=(V.A+→)+(V2--c?at?c? at.w-1%=0.c? at?三、达朗贝尔方程真空中的达朗贝尔方程V2A-02A4-(VA+)--H0?at?c2 at+%(v.A)--at60证明：aA将B=VxA,E=-VQ-at代入麦克斯韦方程：aE+Moj,V.E-PVxB=60l02t60并利用V×(V×A)=V(V. A)-V2A得到达朗贝尔方程
规范条件： 0 1 2 = + c t A 。 后面将看到在洛仑兹规范下， A, 所满足的方程具有高度的对称 性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。 满足的方程： 0 1 2 2 2 2 = − c t （即 满足波动方程） 证明： ∵ 2 2 2 2 2 1 1 1 c t c t A c t A − = + + + = ) 0 1 ) ( 1 ( 2 2 2 2 2 = + − + c t c t A ， ∴ 0 1 2 2 2 2 = − c t 。 三、达朗贝尔方程 真空中的达朗贝尔方程 = − + = − − + − 0 2 2 2 0 2 2 2 ( ) ) 1 ( 1 A t J c t A t A c A 证明： 将 B A = ， t A E = − − 代入麦克斯韦方程： 0 0 0 0 , + = = J E t E B 并利用 A A A 2 ( ) = ( ) − 得到达朗贝尔方程