电动力学第二章第二章静电场
电动力学 第二章 第二章 静电场
电动力学第二章第三节拉普拉斯方程分离变量法分离变量法适用范围几种常用坐标系中拉普拉斯方程通解的形式应用分离变量法解题
电动力学 第二章 第三节 拉普拉斯方程 分离变量法 ⚫ 分离变量法适用范围 ⚫ 几种常用坐标系中拉普拉斯方程 通解的形式 ⚫ 应用分离变量法解题
电动力学第二章一、分离变量法适用范围1．求解区域中介质分区均匀，且自由电荷p=0，电势满足拉普拉斯方程√2の=0，区域表面及分界面形状规则，可用分离变量法求解拉普拉斯方程。2.求解区域电荷分布具有某种对称性，用高斯定理等简单方法可找到泊松方程V0=-P的特解の,由电势叠加='+"，即为界面上电荷激发的场，满足√？=0，再分离变量求解
电动力学 第二章 一、分离变量法适用范围 1. 求解区域中介质分区均匀，且自由电荷 ,电势满足拉普拉斯方 程 ,区域表面及分界面形状规则,可用分离变量法求解拉普拉 斯方程。 2 = 0 = 0 2. 求解区域电荷分布具有某种对称性,用高斯定理等简单方法可找到泊松 方程 的特解 ,由电势叠加 , 即为界面上电 荷激发的场,满足 ,再分离变量求解。 2 = − = + 2 = 0
电动力学第二章在直角坐标系中：a"apap拉普拉斯方程V?p= 00Oy?ax?0z?p(x, y,z) = f (x)g(y)h(z)f"(x)g(y)h(z)+ f (x)g"(y)h(z)+ f (x)g(y)h"(z) = 0两边同除以p(x, y,z) = f (x)g(y)h(z)h"(2)f"(x)g"(y)0h(z)f(x)g(y)h"(z)f"(x)g"(y)=-k?=-k?-k22k+k,+k?=0h(z)f(x)g(y)
电动力学 第二章 在直角坐标系中: 拉普拉斯方程 2 = 0 222 2 2 2 0 x y z + + = ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z f x g y h z = f x g y h z f x g y h z f x g y h z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = 0 两边同除以 ( , , ) ( ) ( ) ( ) x y z f x g y h z = 222 0 x y z kkk + + = ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) f x g y h z f x g y h z + + = 2 ( ) ( ) x f x k f x = − 2 ( ) ( ) y g y k g y = − 2 ( ) ( ) z h z k h z = −
电动力学第二章在直角坐标系中：拉普拉斯方程?β= 0k?+kj+k?=0[k?>0f(x) 三角函数k2<0f(x）指数函数或双曲函数f"(x)+k3f(x)= 0[k’=0 f(x)=C)x+C,故通解为p(x,y) =(A,x+ B.)(Coy+ D)+Z(A, sin k,x+ B,cosk,x)(C, sinhkny+D,cosh kny)2
电动力学 第二章 2 ( ) ( ) 0 x f x k f x + = 2 0 ( ) x k f x 2 1 2 0 ( ) x k f x C x C = = + 三角函数 故通解为 0 0 0 0 1 ( , ) ( )( ) ( sin cos )( sinh cosh ) n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y = = + + + + + 222 0 x y z kkk + + = 2 0 ( ) x k f x 指数函数或双曲函数 在直角坐标系中: 拉普拉斯方程 2 = 0