3可降阶的高阶微分方程的解法 (1)y=f(x)型 解法接连积分n次,得通解 (2)y"=∫(x,y)型 特点不显含未知函数y 解法令y'=P(x),y"=P 代入原方程,得P=f(x,P(x)
3 可降阶的高阶微分方程的解法 解法 令 y = P(x), 特点 不显含未知函数 y. (2) y = f (x, y) (1) ( ) 型 ( ) y f x n = 接连积分n次，得通解． 型 解法 代入原方程, 得 P = f (x,P(x)). y = P
(3)y"=∫(y,y)型 特点不显含自变量x 解法令y=P(x),y=p吻 代入原方程,得P"=f(y,P)
令 y = P(x), 特点 不显含自变量x. (3) y = f ( y, y) 型 解法 代入原方程, 得 f ( y,P). dy dp P = , dy dp y = P
4线性微分方程解的结构 (1)二阶齐次方程解的结构 形如y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 定理1如果函数y(x)与y2(x)是方程(1)的两个 解那末y=C1y1+C2y2也是(1)的解(C1,C2是常 数) 定理2:如果y1(x)与y2(x)是方程1)的两个线性 无关的特解,那么y=C11+C2y2就是方程(1)的通 解
４ 线性微分方程解的结构 (1) 二阶齐次方程解的结构: 形如 y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 定 理 1 如果函数 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个 解,那 末 1 1 2 2 y = C y + C y 也 是(1)的解（ 1 2 C , C 是 常 数 ）. 定理 2：如果 ( ) y1 x 与 ( ) y2 x 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 1 1 2 2 y = C y + C y 就是方程(1)的通 解
(2)二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)(2) 定理3设y是(2)的一个特解,Y是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解,那么y=Y+y是二阶 非齐次线性微分方程(2)的通解
(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构: 形如 y + P(x) y + Q(x) y = f (x) (2) 定 理 3 设 * y 是(2)的一个特解, Y 是 与(2)对 应 的齐次方程(1)的通解, 那 么 * y = Y + y 是二阶 非齐次线性微分方程(2)的通解