通解如果微分方程的解中含有任意常数,并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的 解叫做微分方程的通解. 特解确定了通解中的任意常数以后得到的解, 叫做微分方程的特解. 初始条件用来确定任意常数的条件 初值问题求徼分方程满足初始条件的解的问题, 叫初值问题
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件. 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2一阶微分方程的解法 (1)可分离变量的微分方程 形如g(y)小y=f(x)d 分离变量法 解法∫()p=f(x)dk (2)齐次方程形如中=f(") dx 解法作变量代换l yx
形如 g( y)dy = f (x)dx (1) 可分离变量的微分方程 解法 g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 2 一阶微分方程的解法 ( ) x y f dx dy (2) 齐次方程 形如 = 解法 x y 作变量代换 u =
(3)一阶线性微分方程 形如 +P(x)=Q(x) 当Q(x)≡0,方程称为齐次的 当Q(x)主0,方程称为非齐次的 解法齐次方程的通解为y= Cep(ry (使用分离变量法)
P(x) y Q(x) dx dy 形如 + = (3) 一阶线性微分方程 当Q(x) 0, 方程称为齐次的． 当Q(x) 0, 方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce （使用分离变量法） 解法
非齐次微分方程的通解为 P(xdx P(xdx y Q(xe! d+c (常数变易法)
非齐次微分方程的通解为 ( ) ( ) [ ( ) ] P x dx P x dx y e Q x e dx C − = + （常数变易法）
(5)伯努利( Bernoulli方程 形如+P(x)y=Q(x)y(m≠0,1) dx 当n=0,时,方程为线性微分方程 当n≠0,时,方程为非线性微分方程. 解法需经过变量代换化为线性微分方程 n Z=y (1-n)P(x)dx (l-n)P(x)de e ∫a(xa-n dx +c)
(5) 伯努利(Bernoulli)方程 n P x y Q x y dx dy 形如 + ( ) = ( ) (n 0,1) 当n = 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程. 解法 需经过变量代换化为线性微分方程． , 1 n z y − 令 = ( ( )(1 ) ). (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 + − = = − − − − e Q x n e dx c y z n P x d x n P x d x n