可唯一开拓为L2(X,A)②D2(,v)至D2(X×Y,×吵上的西算 子 2°设{e;}为H之基,则Ⅴg∈D(X,;H),由直接计算可知 inlg(x)-∑((x),e3) 0 这说明{g;(a)·e;:s∈L2(x,),∈N}之有限线性组合全体在 L2(X,共H)中稠密,而映射 U:∑8e)→∑9 定义在D2(X,μ)⑧H之稠密子集上,保持内积不变,从而可唯 开拓为L(X,)⑧H到L2(X,;H)上的酉算子 由(22)式可知 418φ2‖=|pllp: (25) 从而双线性映射(1,2)y1⑧y为H1xH到H⑧H2中的 连续映射.设{e}和{爪}分别为H1及H2之基,在(2.1)式中 令41=e,E2=,两边取模的平方,对jk=1,2,求和得 ∑ 7,k=1 (26) 由此可见,(26)式左边可以作为H1⑧Hz中范数的定义,此和不 依赖于基的选择,称为 Hilbert- Schmidt范数 对任意有限多个 Hilbert空间的张量积,可以归纳地定义,但 根据前面所述事实,可以直接给出如下定义
定义25设{E}kN为 Hilbert空间H之基(1≤j≤n),对 乘积空间I=:H上(共轭)m线性型F,定义其 Hilbert-Schmidt 范数 FHRs=∑|F(1,…,en), 此范数不依赖于基的选取.具有有限HS范数的(共轭)7-线性型 总体,构成 Hilbert空间张量积班1⑧H2…⑧Hn,简记为8}=1f 将(21)推广为n元素张量积,则{8=13:(h1,,kn)∈ N"}构成8=1H之基.特别,当H1=H2=…=Hn=H时, 其n重张量积记为Hn.若{eh}k∈N为H之基,则{y=1ek, (k1,…,kn)∈N"}为H8n之基,在数学物理中,常常考虑它的 两个子空间:对称和反称张量积子空间.这里我们只介绍对称张 量积空间 设6为{12,…,n}上的n阶置换群,对σ∈6,定义: 丌(φ18…φn)≡(1)3…⑧φ(m 则丌可开拓为H8n的自同构映射,且对a,T∈6有πnr=丌丌r 于是自同态映射 ∑ (28) ∈e 为Hn上的正交投影 定义26由(2.8)式给出的正交投影丌n的值域(它是Hsn 的闭子空间)称为H之n重对称张量积空间,记为H8n,.对 n∈H, 之投影 mn(8=19) (29) 称为g1,…,n之对称张量积我们约定对F,GEH8n (F,G)nan≡n!(F,G)H 210)
但为了记号方便,我门将一概折算成Hm中的内积以省去内积符 号中的下标Hn和H③n 若H=D2(x,),(X,)为一测度空间,则由定理24可知 HnD2(X",A"),AFP(Xn,)表示(X,1)之重乘积测度 空间,而 Hn坐D2(X,n!"), 即H等距同构于X上元对称、关于测度n平方可积的 函数(等价类)所构成的Hber空间 注设H为任一线性空间,F为Hx…×H上的对称n线 性型、若令 A(q)≡F(φ ∈H 则由简单计算可得 2n! ∑a…6nA(∑:9),(211 其中∑是对∈=±1(=1,,m)所有2种情形求和.此即所 谓极化公式.作为直接推论,我们有 ∑ ∑ 1<j<n φn∈H (212) 从而H8n是由{°n:h∈H}所生成的闭子空间 没A为有限多项不为零的非负整数序列a={ay}eB的全 体,对a∈A,令阳a≡∑ay,!≡∏a(注意上述和积实际上 只含有限项).M∈Ⅳ,记An≡{a∈A:at=n},则A=∑nAn 命题27设{e3}eN为 Hilbert空间H之基,对a∈An,令 (213)
(括号中张量积只含n个因子,其中e;出现a次,j=1,2,……) 则{(a!)-1/2e:a∈An}构成H8n之基 证明对(k1,…,kn)∈N",令月为此7个自然数中等于j 的个数,即 月;≡#{:1≤≤m,k=j},j=1,2,……, 得到的序列B={月;}∈An记此映射为丌:ⅣN→An,显然丌为 满射,且当(1,…,kn)∈丌-1(a)时 丌n(②1ek 若∈△n,(k1…,kn)∈π-1(6),则 ek),n(8=1ek:) 21ek;,丌n(⑧ =∑I(e,echb a∈6y=1 当a=B时上式为a!/(m)当a≠B时上式为0,故{a!)-1/2a a∈An}为H8n之基. 22Fock空间 在量子物理中,常以H8表示n个相同粒子的系统,由于相同 粒子无法区分,且根椐自旋的不同服从玻色(Boe)或费米 Fermi) 统计,故我们考虑H的n重对称或反称张量积子空间.但粒子 可能增生或湮灭,粒子总数是不固定的,因此用Fock空间来作模 型,在无穷维随机分析中,最重要的事实之一是无穷维Gaus概 率空间上平方可积泛函空间和对称Fok空间的同构关系,即所 谓 Wiener- lto-Segal的混沌( chaos)分解(参看第二章§1及第四章 §1) 我们先介绍 Hilbert空间无穷直和的概念
设(Hn,(,An),n=1,2,…为一列 Hilbert空间,H为乘积 空间ⅡH之线性子空间,由满足∑|n旧<∞之={n} 构成,对φ={yn},v={yn}∈H,令 b()≡∑(4n,vn (214) 几=1 由 Schwarz不等式 I(n, ln)n<onInBvn n s(iPn4+lynn 可知(2.14)式对pv∈H有定义 命题28由(2.14)确定的b为HXH上的严格正 Hermite 型,(H,b)为 Hilbert空间,称为{Hn}∈N之班iber直和空间, 其代数直和空间在其中稠密. 证明显然b为 Hermite型.若≠0,则 b(9)=∑ 0, =1 故b为严格正,因代数直和是由仅仅有限项不为0之φ={9n} 构成,显然它在H中稠密 设 (m 1,2,…为H中关于范数‖ll √6(,4)的基本列,则V,{m)}mM为Hn中基本列,从而在Hn 中收敛于某0.易见,y0≡{0}∈H,且|p{n)-g(川→+0, 故H完备 今后,我们将此无穷直和空间记为 H=e 2.15 记= 注意,不要和{Hn}之代数直和混淆