证明设A=UT为A的极分解,(1.45)为T的一个谱分 解,则Vx∈H,有 ax=us= ∑ λn(a,en)U (10) 将{en}扩充成为H的基{升}将{Uen}扩充成为K的基{gn}, 并保持En与Uen的对应关系,则由(1.50)得 ∑I(41#,9n川=∑λ=|Al (151) 另一方面,对H及K的任意基{fn}及{gn},由(150)有 ∑|(An,n)|=∑|∑n(f,en)Uem,gn) ≤∑An∑(f1,n)(em) ≤2∑λm∑((mn)P2+(Uem,.m)2 ∑ Am =Al (152) 故由(151)及(1.52)推得(149) 定理132设A∈C(x)(H).则对H的任一基{fn}有 ∑|(4fn,fn)|≤‖A1 153 此外,∑n(Afn,fn)不依赖于基{fn}的选取我们令 TTA= ∑ (Afn, fn) 54 称TA为A的迹(参见定义1.8) 22
证明(1.53)是(149)的直接推论,设A=UT为A的极分 解,(1.45)为T的谱分解.则V∈H有 Ax=UTx=∑Al(,en)Uen=∑(x,n)Ae (155) 由(1.52)知二重级数∑n∑m(fn,em)(Aem,fn)绝对收敛,从而求 和順序可以交换,故由(1.55)得 ∑(Afn,)=∑∑(n,em)(Amfn) ∑∑(fn, em)(Aem,) ∑(Acn,∑(en,fn)fn)=∑(A 这表明∑n(Afn,fn)不依赖于基[n}的选取 我们将下一定理的证明留给读者作为习题 定理13设B∈C(H,K),A∈C(K,E),则有 ‖ABl2≤‖A‖|B2 |ABl2≤‖A|2|B, |ABl1≤ lAlBll1 ABl≤‖Al1B‖, |ABl≤AlB|2 作为本节的结束,我们介绍如下重要结果(证明见 Meyer(3) 定理1.34C(u)(H,K)为K(,X)的拓扑对偶,C(H,K)为 (){H,K)的拓扑对偶,其典则双线性型分别为 B,4A=∑(Bf,A1n),A∈C((H,),B∈(H,K) (A,B)=∑(Afn,Bf),A∈C(n(H,),B∈C(H,F) 其中{f}为H的任一基
§2.Fock空间与二次量子化 本节假定所有 Hilbert空间都是域丞(实数域丑或复数域可 上的可分 Hilbert空间;范数一律用(带下标或不带下标的)‖·‖ 表示;标准正交基均简称为基(或ONB) 21 Hilbert空间的张量积 设H1与H为Hber空间,其内积分别为(;)与(,)2, 对1∈H1及印2∈H2,我们定义其张量积为H1XH2上的一个 共轭双线性型: 1⑧p21,2)≡(1,1)(2,52)2,51∈H1,2∈H2,(21) 以E表示由{18识2:91∈H1,2∈H2}生成的线性空间,对 ?18y,的⑧v∈E,定义 b(φ91②2,v③v)≡(1,v)(2,v)2, (2 并将其线性开拓到E上 命题21由(22)式确定了ExE上一个严格正 Hermite型 从而(ε,b)为内积空间 证明首先要证明b在E上的开拓是确定的.若F∈E有两 种不同的表示: ∑(18y)=∑(≠k 上=1 则由(21)式,V1∈H1,E2∈H2 F(1,2)=∑vy,1)2(92,)2 ∑(k,(2,2)
从而由(2.2)式,1∈H1,∈H2有 b∑=1(1;8q,v③如)=∑(41y,vn(中y,v ∑(;)x( e=1 b(∑k=1(yk⑧yk),v⑧), 即b的定义不依赖于E中元素的表示 由(22)式易知b为 Hermite型,现证其严格正性 设F=∑=1(;89;)≠0,取(e1, )为(9 生成的子空间的基,则存在f1,…,fn∈H2,不全为0,使F= (e;⑧).于是 b(FF)=∑be;8f ∑(s,ehn(f, ∑f>0 定义22由上述内积空间(E,b)完备化而得的 Hilbert空间 称为H1和H2的 Hilbert张量积(或简称张量积),记为H1⑧H2 命题23若{e}和{}分别为 Hibert空间H和H2之 基,则{e;⑧kh};,k∈N为 Hilbert空间H⑧H2之基 证明正交性由(22)式即可看出,为证其完备性,只要证E 含于由{e8k},kEN生成之闭子空间S中 任给1②q2∈E,设=∑e,=∑kf且系数满 足∑;e;2<∞,∑kd2<∞.则 ∑;(e;)∈S i, k
由直接计算可知 2-∑∑9i川=0 1k=1 平方可积函数空间是常见的 Hilbert空间.这类 Hilbert空间 的张量积有着非常直观而自然的含义.设(X,1)为一测度空间, L2(Xp)表示X上关于测度平方可积的函数(等价类)所构成 的 Hilbert空间,其内积由下式给出 (f,9)=/f(x)9(j(dx (23) 若H为任一可分Hber空间,我们以L2(X,;)表示X上取 值H的平方可积函数(-等价类)所构成的 Hilbert空间,具有内 积: (f,g)=/((,g-)(da) (24) 定理24设(X,)和(X,)为测度空间,且L2(X,1)和 L2(Y,v)可分,则 1°存在唯一同构关系: L2(x,)L2(Y,)L2(X×Y,×v) 使∫g对应于f(x)9(y); 2°对任一可分 Hilbert空间H,存在唯一同构关系 L2(X,)⑧H坐L2(X,p;H), 使∫⑧h对应于∫(x)九 证明1°设{e(x)}和{h()}分别为L2(X,)和D2(Y,v) 之基,易见函数系{e(x)A(y)};keN构成L2(X×Y,HXv)之基, 于是驶射 U:∫89++f(x)9(y)