定义29设H为 Hilbert空间,则 F(H)≡H 216) n=0 (约定H∞0=B)称为H上的Fock空间(或完全rock空间,自 由Fock空间).而 r(n)≡Gn 2.1 则称为H上的对称Fock空间或玻色(Bose)Fock空间 若{ek}k∈N为H之基,则形如 让1eky (218) (其中(h1,…,kn)∈Ⅳ",②=1,位于第n+1项,∈N)的序 列以及(1,0,0,…)构成(H)之基,而形如 (0,0,…,(al)1/2el(m),0,…) (219) 其中an)∈An,eam位于第n+1项,Ⅶn∈Ⅳ)的序列以及 (1,0,0,…)构成r(H)之基 23二次量子化算子 所谓二次量子化就是由 Hilbert空间H上的算子出发来构造 Fock空间f(H或r(H)上的算子.为此,我们要定义算子的张 量积 设H,K(=1,2)为 Hilbert空间,A为H;到K3中的 稠定线性算子,D(A)CH为其定义域.令D(A1)⑧D(A2)为 {182:φ;∈D(A),=1,2}张成的线性空间,则D(A1)D(A2) 在H1⑧H2中稠密.定义 A1⑧A2(1⑧φ2)≡A191⑧A292,φ∈D(A1),i=1,2,(2.20)
并将其线性开拓到D(A1)②D(A2)上.容易证明,此开拓是确定 的,即不依赖于D(A1)8D(A2)中元素的具体表示(参照命题21 之证明).定义 A1+A2≡A1⑧I+I⑧A (221) 命题2.10由(220)及(221)式定义的算子A1⑧A2及A1+A2 均为五1⑧H2到K1⑧K2中的稠定线性算子.若著A1及A2可闭, 则A1⑧A2及A1+A2均可闭 证明只需证A1A2的可闭性.设A;可闭,(若将K与K 等同,将H与H等同)则其共轭算子A为K;到H1中的稠定线 性算子(见定理15),且ⅤF∈D(41)D(A2),G∈D(A1)8D(A2) 有 (A18A2)F,G)=(F,(A:A2)G) 故D(A1)⑧D(A)cD(A18A2)*),从而(A1⑧A2)*稠定,亦即 A1⑧A2可闭 由定理15知(A⑧A)”为A1⑧A2之闭包,称为A1与A2之 张量积,仍记为A1⑧A2,同样,A1+A2之闭包仍记为A1+A2 于是有 (A1⑧A2)=A1⑧A (A1+A2)=A1+A (224) 命题211设A1和A2分别为 Hilbert空间H1与H2上的 有界算子,则 A1②A‖l=‖A1lA2| (225) 证明设{e;}和{k}分别为H和H2之基,对任一有限 和∑,Ck(e乐)我们有 I(42s)Ek9(;8)2=∑∑,e4 ∑|42∑k A1|2∑kck(e⑧兵)川
由于上述形式的有限和在H1必H中稠蜜,故有‖A1⑧‖≤‖A1l, 于是由A1⑧A2=(A18D)(⑧A2)得 A1@A2≤A⑧IH|I⑧A21≤‖A1‖A42| 反之,任给∈>0,必有单位向量φ∈H1,v∈H使‖A19‖≥ ‖A2|-∈,‖42y≥|A2-∈,于是 H(A18A2)(φ@川=‖A1y‖A2y ≥A1|A2-EA1‖-A2|+e2 由于e可任意小,故‖A18A2l≥‖A1lA2|,(225)得证 任意有限个算子的张量积可以归纳地定义.特别,若A为 Hilbert空间上闭线性算子,可以定义其n重张量积A,它是 H%n上的闭线性算子,限制于Hn上仍为一闭线性算子.类似 地,可以定义 A(n)=A⑧I的…⑧+7⑧A…⑧ II②…⑧A (226) 由(223)及(224)推知,若将H与H*视为等同,当A为自共轭 时,A°及An)亦为自共轭算子 现在来构造Fock空间上的算子 定义212设A为 Hilbert空间H上稠定闭线性算子,令 {∈(H:φ={yn},n∈D(A)n,Ⅶ,除有限项外均为 若p={n}∈D,在D上定义 r(Ayp≡{A8vyn} (A9≡{A)yn} (227) (约定A∞=I,A(0=0,则r(A)及d(A)均为F(H)上稠定、 可闭线性算子,其闭包仍记为r(A)及d(A),分别称为A之二 次量子化及微分二次量子化算子1 1)在物理文敝中,一般称ar(A)为二次量子化算子,而r(A)没有特别的名称
由定义及(223),(224)式容易看田, T(A)=r(A),*, dr(A")=dr (a) (228) 特别,若A为H上的自共轭算子将H与H*视为等同,则r(4)及 dr(A)均为F(H)上的自共轭算子,它们与对称Foc空间投影可交 换,从而限制于r(H)上仍为自共轭算子.特别r()=I,dr(r)=N 为计数算子( number operator),即 (229) 其中n·表示乘以数目m 容易证明如下事实(详细讨论参看Cook[1], Reed-simon[1]和 命题2.131°若A为H上的压缩算子,则r(A)为r(H 上的压缩算子; 2若A生成丑上的强连续半群,则d(A)生成r(H上的 强连续压缩半群,且 expf-tdT(A))=r(expt-tA),t>0 (230) 3°若A为H上的自共轭算子,生成酉算子群exp{tA} t∈R,则d(A)为r(H)上的自共轭算子,且生成酉算子群 expitdr(A)]= r(expfita)), tER (231) 在Fock空间的分析中,指数向量 82 ② E(h)≡1⊕h由 2! (232) 起着重要的作用.显然,对,g∈H有 (E(h),E(9)r(m)=exp{(h,9)H} (23)
若h∈D(A),则 AE(h)=E(Ah) (2 此外,我们有 命题214指数向量族{E(),h∈H为线性独立集,所生成 的线性子空间在r(H)中稠密 证明设h1,…,hn∈H且互不相同,易见彐g∈H,使 {(h;,9厘H,1≤j≤t}互不相同.若彐a1,…,an∈巫,使a1E(hr)+ +anE(h)=0,则λ∈耿 入(hg) ay2(h),2(9)r(a)-f 从而a1=a2=…=an=0,{E(h,1≤j≤}的线性独立性得 证 设{E(l),h∈}之线性闭包为S,则E(0)∈S.我们以h8k 表示向量0⊕…⊕h⊕0⊕…,假定{b,k=0,1,……,n-1, h∈H}cS,则由 limt"nE(th)-eG2)-Itnos j=0 可知han∈S.由极化公式(212)可知任一H均含于S中,于 是S=I(H) §3.赋可列范空间与核空间 在局部凸空间中,应用中十分重要的是赋范空间,有限维空间 中的许多结果可以直接推广到无穷维赋范空间中去.然而它在应 用中也有局限性,特别是在广义函数论中,需要研究由一族半范 生成的拓扑线性空间,其中最重要的一类空间就是所谓核空间 核空同的理论是1955年由A. Grothendieck建立的,其名称 来源于 L. Schwartz的核定理.设H=D2(B),则H⑧H坐D2(B2)