现令v(e1)为e1张成的线性子空间,即v(e1)={ae,a∈政} 令H1=V(e1)+,则 (Aye1)=(3y,Ae1)=A1(y,e1 于是y∈H1←Ay∈H1,易见A限于H1为H1上的自共 轭紧算子.若A不是H1上的零算子,则可重复上述步骤,得 到e2∈H1及非零实数A2,使2|=sup∈H,l|=1(Ax,)且 Ae2=入2e2.依此类推,若A退化,且dimR(A)=N,我们可得H 中一标准正交系{e1,e2,…,eN},及一列非零实数{入1,…,MN}, 使得Ae=与e,1≤j≤N,|A12|A2|2…1N且对1≤j≤N 有 sup (Ac, a) (1.36 ‖-|l=1,x∈H;-1 其中H=H,H;为由e1,…:e;张成的线性子空间v(e1,…,e;) 的正交补,1≤j≤N-1.这时公式(135)显然成立.若A非退化 则我们得到一标准正交系{en,n≥1}及一列非零实数{λn,m≥1} 使得{λ,m≥1}为单调非增,Aen=Anen,且(136)对一切j 成立,令mn=An1en,则en=An,由于{en,n≥1}不是H中的 相对紧集,故{an,n≥1}不可能是H中的有界集.因此,必须 有li 剩下要证(135)式.设∈H,令ym n=1 则 yn∈Hm,由(1.36)及引理1.2知 Ayml‖s|Am+1!|yms|Am+1l|l‖, 于是lmm→c|Aym|=0.这表明(135)成立 注设{en,n≥1}为H中的一标准正交系,{λn,n≥1} 为一列非零实数,满足1imn+A=0.令A为由(1.35)定义 的H中的线性算子,则A为自共轭紧算子.为要A是正的(即 (Ax,a)≥0,vx∈H),必须且只需λ>0,Ⅶn≥1
1 Hilbert- Schmidt算子与迹算子 本节只讨论可分 Hilbert空间中的有界线性算子,这时我们把 H中的完备标准正交系称为H的标准正交基,或简称为H的基 引理124设A∈C(H,K),{en}及{fn}分别为H及K的 基,则有 ∑‖Aen|2=∑‖A'flp2 (1.37) 特别,∑n‖4en‖2不依赖基{en}的选取 证明由于 ∑(Aen,fm)m,Afm=∑(Am,enle 故得 ∑‖A2=∑∑( =E∑|en,Afm)P2=∑‖A'ml 上一引理导致如下的 定义125设A∈C(H,K)若对H的某个基{en}有 ∑Aen|2 则称A为 Hilbert- Schmidt算子(简称为H-S算子)这时令 Al2=(∑Ac (138) 称‖Az为A的 Hilbert-Schmidt范数(也记为|l|Hs) 今后,我们用C(2)(H,K)表示H到K中的H-S算子全体 对A,B∈C((H,K),令 CAen Be (139) 18
其中{en}为H的基.由于(A,B)=(A+B脸-‖A-B1),故按 照(1.39)式定义的(A,B)2不依赖于基{en}的选取,且(,)2为 C2)(H,K)上的内积 定理126C(2/(H,K)按内积(,)2为一可分 ilbert空间 证明首先我们任意取定H及K的基{en}及{fn}.对于 A∈C(2)(H,K),令an,k(4)=(Aen,),则 4=∑An2=∑∑|an,(4)P2 令M={(an,k)n,A21:an,k∈K,∑nk=1|an,k2<∞}熟知,M 按如下内积成为一可分 Hilbert空间: (ank),(bn)=∑an,n,, nk 但A→(an,k(A)m,k21为C(2(H,K)到M之上的一个线性保范 同构映射,故C(2(H,为一可分 Hilbert空间 定理127HS算子为紧算子,且对A∈C(a)(HK)有 A‖≤‖A2 (1.40) 证明首先证明(1.40).为此,令(fn)为K的基.由(137) 及(138)得 Az2=∑|(Ax,fn)P2=∑|(x,An)2 2∑Ar12=1242, (1.40)得证,现设{en}为H的基.对每个k≥1,令 A (e, en)Ae, ∈H 几=1 19
则每个Ak为退化算子,从而为紧算子.但我们有 A-Ak2≤1A-A2=∑(A-Ak)n2 ∑‖Aen k+1 故由级数∑n‖Aen‖2的收敛性推知lmk→A-Ak!=0.因此 A为紧算子(因为紧算子全体为C(H,K)的闭子空间) 注由上述证明看出,退化算子全体在C(2)(H,K)中稠 定义128设B为H中的一非负自共轭紧算子.令TB三 B/2称TB为B的迹 由引理124知,对H的任一基{en},我们有 TB=C‖B42en2=∑(Bn,en) (1.42) 下一定理给出了HS算子的一个刻画 定理129设A为H到K的紧算子,则A∈C(2)(H,K) Tr(4·A)<∞这时有 lA2=Tr(A"A 证明设A=U为A的极分解(定理121),其中T (A·A)1/2.设{en}为H的一个基,则有 ∑‖A2=∑en2=∑(4Acn;en),(14) 由此推得定理的结论 注设A∈K(H,K,A=UT为A的极分解, Tm=∑n(,en/n,∈ (1.45
为T的一个谱分解(见定理123).则定理129的一个等价说法是 A∈C(2(HK÷∑ 且有 42=∑A2 (1.46) 定义130设A∈K(H,K,A=UT为A的极分解,(1.45) 为T的一个谱分解,如果∑nλn<∞,则称A为迹算子(或核算 子).令 Al=∑ 4 称‖Al1为A的迹范数.我们用C(1(H,K)表示H到K中迹算 子全体 由(146)知,迹算子必为HS算子,从而亦为紧算子,此外, 设A∈KC(H,五),则 A∈C(1)(H,K)←→Tr(A·A)1/]<∞ (AA)1/4∈C(2(玨,) 且有 A41=Ti(A*A)/2]=|(A·A (148) 下一定理给出了迹范数的一个表达式 定理131设A∈C((H,K),则 A1=8up∑|(4n,9n) 1.49 其中上确界是对H及K的一切基[fn}及{sn}取的.此外, C(1)(H,K)按迹范数‖·|1为一可分 Banach空间