a(,)表示a(,到D(a)×D(a上的连续延拓.由于范数‖·‖*比 H上的范数‖·l强,故D(a)可取为H的子空间,从而a为H 中的闭的严格正 Hermite型.故由定理112存在唯一的自共轭算 子A使得 (Ax,y)=a(x,y),∈D(A),y∈D(a) 设x∈D(A),则由(1.26) a(x,y)=|(Ax,y)≤‖ AxlllllsArlllllo:w∈D(4 由于m(A)在D(a中按范数‖·‖稠,故上一不等式对一切y∈ D(a)也成立,从而依A的定义知:x∈D(A),且(Aa,y)=a(x,y) vy∈D(a).特别由(1.26)得 (Ar, y)=a(o, y)=(Ax, y), Vy E D(A) 故有Ax=Ax,va∈m(A).这表明A是A的延拓,此外显然有 A>1. 对一般情形A≥c令A1=A+(1一c),则A1≥1.由前所 证,存在A1的自共轭延拓A1,且A1≥1.令A=A1-(1-c)l, 则A≥c,A为A的自共轭延拓 14自共轭算子的谱分解 定义114设H为数域Ⅸ上的 Hilbert空间,A为H中的 闭算子.令 p(A)={Ae:N(M-A)={0},R(X-A=H,(X-A)1∈C(H)} 称P(A)为A的预解集.p(A)在B中的补集称为A的谱集,记 为a(A)又令 ol(A)={λ∈K:N(X-A)≠{0}}
o(A)称为A的特征值集.设入∈ap(A),称N(M-A)为A的对 应于A的特征子空间,每个非零x∈M(A-A)称为A的对应于 入的特征向量 自共轭算子谱分解通常是对复 Hilbert空间情形给出的,这时 可以用对称算子的 Cayley变换将问题转化为有界自共轭算子的谱 分解.对实 Hilbert空间情形中的自共轭算子,我们可以通过“复 化”方法将它变成复 Hilbert空中的自共轭算子.所以关于自共轭 算子的谱分解,对这两种 Hilbert空间有统一的描述.下面我们将 介绍有关结果,但只对紧自共轭算子及其逆的谱分解给出证明 以下我们用P(H)表示H上的投影算子全体.设B1,P2∈ P(H).如果B(H)cP2(H),我们记为R≤P2,这时P2-B∈ P(H) 定义1.15设{E,λ∈R}CP(H).称它为H的一个单位 分解,如果它满足下述条件: (1)单调增:A1≤A=→Ex1≤EA2 (2)右连续:Ex+≡8imE=Bx; 3)E-∞≡94im→-B=0,E。≡limx→E=l, 这里s1im表示算子的强极限 下一定理是自共軛算子的谱分解定理 定理1.16( von Neumann)设A为H中的自共轭算子,则存 在丑的唯一单位分解{E入,A∈R},使得Va,y∈D(A) (Ax, y)=/Ad(Exr, y) (127) 这里右端为 Lebesgue-Stieltjes积分.我们称{E,A∈B}为A的 谱族 通常我们用如下“谱积分”表达式来表示算子A: a=/ AdEx (128) 我们有 D(A)={x∈H:/2d(Ea,x)<∞o}.(1.29)
注对丑的任一单位分解{Ex,A∈R},我们如(129:定义 D(A),则D(A)在H中稠对给定r∈D(A),由 riesz表现定理可 唯一确定H的一元素,记为Ax,使得(127)式对一切y∈D(A) 成立.容易证明:如上定义的算子A是H中的自共轭算子,其谱 族为{EA∈邳 下一定理给出了纠(A)的定义,其中φ为R上的实值 Borel 可测函数,A为H中的自共轭算子 定理117设A为H中的自共轭算子,{Ex,λ∈配}为其谱 族,φ为政上的实值 Borel可测函数.令 D(9(4))三{z∈H:y(4)2a(E2,m)<∞ (1.30) 则D(φ(A))在H中稠,且Vx,y∈D((4) 1/2 p()11d(Exa, y)|s ly!(/p()2d(E, 入北,北 对x∈D((A),令φ(4)为H中唯一的元素,使得 (sp(A)r, y)=/c(])d(ExE, y), Vy E D(A) (131) 我们用如下“谱积分”表达(A) 9(A)=(A)dE入 (132) 则p(A)为H中的自共轭算子 下一定理用谱族给出了自共轭算子特征值集的刻画 定理1.18设A为H中的自共轭算子,{Eλ,λ∈B为其谱 族.则 02(A)={λ∈B:E≠E入-} 1.33
定理119设A为H中的下半有界自共轭算子,{EA,A∈R} 为其谱族,令 c=sup{λ:E入=0 则c∈R.这时(127)及(1,31)中的积分区域R可以用区间e∞) 代替.特别,如果A为正的(即c≥0),则对任意p∈政可定义A 的p次幂 入dE (1.34) 则AP为自共轭算子.我们称A12为A的平方根 下一定理是对定理112的重要补充 定理120设a为H中的一闭的正 Hermite型,A为按(120) 与a联系的正自共轭算子,则D(A1/2)=D(a),且有 a(a,y)=(A/2a, A/2y), r,y E D(a) 证明令a(x,y)=(A4/2x,A12y),x,y∈D(A1/2),则易见a 为H中的闭的正 Hermite型,由于{{x,Ax}:x∈D(A)}显然在 c(A1/2)中稠,且a与a在D(A)上一致,故有a=a 下一定理给出了稠定闭算子的极分解 定理121设A为H到K的稠定闭算子.令T=(A*A)12,则 T为H中的正自共轭算子,且D(T)=D(A)此外,存在从R(T) 到K中的唯一线性等距算子U(即|=‖xl)使得A=UT.我 们称这一分解为A的极分解,称T为A的绝对值,记为|A 证明由定理1.7知,A*A为H中的正自共轭算子,令 a(x,y)≡(Ax,Ay),x,∈D(A) 则a为H中闭的正 Hermite型.由定理112及1.20易知D(T)= D(a)=D(A),且有 1Ax2=a(a, a)=HTz 2, EE D(A)=D(T) I5
从而Ax=0今Tx=0.对y=T∈R(T),令Uy=Ax,则U在 R(T)上的定义是不含混的,A=UT,且|U排=Axl=| 定义122设A∈C(H,K),D(A)=H.如果A将K中的单 位球(或任一有界子集)映成K中相对紧集,则称A为紧算子(或 全连续算子) 我们今后用K(H,K)表示H到K中的紧算子全体.显然紧 算子为有界算子,K(H,K)为C(H,K)的闭子空间 下一定理是自共轭紧算子的谱分解定理.为方便读者,我们 给出它的证明 定理123设A为H中的非零自共轭紧算子.则存在丑中 的一标准正交系{en}及一列非零实数{λn},使得Aen=Anen:且 有 ∑An(z,en)en,Vx∈ (135) 如果A退化(即R(A)为H的有穷维子空间),则上述级数只含有 限项;如果A非退化,则limn→∞λn=0 证明由于A自共轭,(Ax,x)为实数,令 m= inf (Aa, a), M= sup(Aa, a) E =H=1 z|=1 由引理1.2知,m与M中至少一个不等于零.令h为m与M中 绝对值较大者则A1=即up||=1Ax,x)选取xn∈H,|nl=1, 使得λ1=limn(Axn,xn).由于A为紧算子,{Axn,n≥1}在H 中相对紧,必要时取子列,不妨设{Axn}在H中收敛于某极限 y.由引理12知,‖A=|1,故l≤‖A=|A1.另一方面, lim Acn-X18cn 2= lim( Ac, 2-2A1(Arm, an)+X2) 几→ 于是必有列=A,且有lmn→Axn-nl=0.令e1=2y, 则|e=1,Aen=入