(2)由于A∈A,且D(4)=H,故A=A·,即A自共轭.特 别A是闭的.故由闭图象定理知A是有界算子 (3)设y∈H,y⊥R(A),则v∈D(A),(Ax:y)=0.故 g∈D(A")=D(4).于是vx∈D(A),(a,Ay)=(Ax,y)=0.这表 明Ay=0.由于假定A可逆,必有y=0.这样我们证明了R(A) 在H中稠.往证A-1是自共轭的.由于A=A*,故由(1.12)知 (A-1)*)=w(-A-1)=9(-A)=v(A) 但恒有w(A)=9(-1),故9(A-1))=9(A-1),即(A-3)*=A-1 (4)设y∈D(A)且Ag=0,则∈D(A),(Ax,y)=(m,Ay) =0,即y⊥R(A).由假定R(4)在H中稠,放必有y=0.这表 明N(A)={0},即A可逆 (5)首先,由(4)知A可逆,且由假定D(A-1)=R(A)=H 设x,y∈H,则 (A-2x,y)=(A-1x,A(A-1y)=(zx,A 这表明A-1对称.于是由(2)及(3)推知A-4有界自共轭和A自 共轭 下-重要定理属于 von Neumann 定理17设A∈L(H,K)为稠定的闭算子,则A·A为H中 的自共轭算子,且≡{3,A}:y∈D(A4)}在9(A)中稠 此外,AA*也是K中的自共轭算子 证明设x∈H.由(112)知,存在v∈D(A),U∈D(A*)使得 {0,x}={-Aa,t}+{v,A' 故有v=4,从而 z=+ A"v=(I+ A"A)u 令S=I+AA,显然S-1对称,且‖S-1≤1,故S-1自共轭, 于是由定理16(3)知S自共轭.这蕴含A·A自共轭
为证9在9(A)中稠,只需证:wa∈D(A),若{x,Ax}与9正 交,则x=0.此正交性蕴含(x,y)+(Ax,Ay)=(m,y+A"Ay)=0, vy∈D(A*A).但是R(I+A*A)=H,故必须有x=0 最后,由定理15知A*为从K到的稠定闭算子,且A”= A.对A应用已证结果即知AA·为K中的自共轭算子 设A∈D(H为对称的.如果A的闭包(即A·)是自共轭算 子,则称A是本性自共轭的 下一定理给出了本性自共轭算子的一个等价描述 定理18设A∈L(H)为对称.为要A是本性自共轭的,必 须且只需A自共轭(即A“对称 证明若A·自共轭,则A=A,从而A*=A*,即A自 共轭.反之,设A*自共軛,则A*=A*,但由于A*是闭稠定 算子,根据定理L5(2),我们有A*=A”,从而最终有A·=A 即A*自共轭 设A∈L(H)对称,如果存在实数c使得 (Ax,)≥cl|2,vx∈D(A), 则记为A≥c并称A是下半有界的如果c可取为0正数),则称 A是正的(有正下界的 下一定理给出了下半有界对称算子为自共轭算子或本性自共 轭算子的一个有用的刻画 定理19设A∈L(H为一下半有界的对称算子,A≥ e>0.令B=(e-c)I+A,D(B)=D(A),则 (1)A为自共轭,当且仅当R(B)=H; (2)A为本性自共轭,当且仅当R(B)在H中稠(或等价地, (B)={0} 证明(1)设A自共轭,则B自共轭且可逆,故由定理16(3) 知R(B)在H中稠.∈H,=n∈D(A),使得|-Byn|→0, n→∞.令mn=Byn由于A-cI≥0以及 3n-ym)+(A-c)(孙n-3m)
我们有 c|n-ym2≤(xn-xm,yh-ym)≤|an-xml‖l 从而存在y∈H,使v→y.但是xn=(∈-c)vn+Avn,故Ayn在 H收敛.由于A是闭算子,必有y∈D(A)且A%n→Ay.这样一 来,我们有=(-c)y+Ay∈R(B,.这表明R(B)=H 反之,设代(B)=H.则由定理16(5)知B为自共轭,从而A 为自共轭 (2)设A本性自共轭,则A的闭包A为自共轭.令B (-c)I+A,则由(1)知R(B)=H.由A-cI≥0,与上述证明 类似可证R(B)=R(B),从而R(B)在H中稠.反之,设R(B) 在H中稠.令A为A的闭包,B=(∈-cI+A则可以证明 R(B)=R(B).从而由(1)知B自共轭,即A自共轭.依定义, A本性自共轭 系110设A为H中有正下界的对称算子,则A为本性自 共轭当且仅当R(A)在H中稠(或者等价地M(A)={0}) 证明设A≥,E>0.令A1=A-∈I,则A1≥0,A=A1+∈l 由定理19(2)立得本系结论 令H=L2(B),A=-△+,D(A)=C(丑4)(这里 是 Laplace算子,C8(B2)表示R4上具有紧支撑无穷次可微的 函数全体),则A为本性自共轭的事实上,显然A为有正下界的 对称算子.为证A本性自共轭,只需证M(A)={0}.设g∈H2 A"g=0,则在 Schwartz分布意义下Ag=0,因为lf∈C8(R)有 Af,9)=(A,g)=(f,A*g)=0,这里(,)表示S(B2)×S*(R4) 上的典则双线性型.我们用万f表示f的 Fourier变换,则 5(-△+刀)9()=(i|2+1)F9( 从而g()=0,故g=0.这表明M(A)={0} 令A为A的闭包,则A为自共轭算子.易证 D(4)=2(B≡{f∈L2(R:/2Ff)2
13下半有界对称算子的自共轭延拓 对称算子不一定有自共轭延拓.下面我们介绍的 Friedrichs定 理表明:下半有界对称算子恒有自共轭延拓.为了证明这一定理, 我们需要一个有关闭的正对称共轭双线性型的表示定理,它也属 于 Friedrichs[] 定义1.11设H为数域上的 Glbert空间,V为H的 稠线性子空间.令a(,):V×V→K为v上的二元函数,称a 为H中的对称共轭双线性型(或 Hermite型),如果 (1)a(x,y)关于x线性,关于y共轭线性; (2)a()对称,即a(x,y)=a(y,x) 我们称v为a的定义域,记为D(a).如果a(x,x)≥0, vx∈D(a),则称a为正的若进一步有 x≠0=a(x,2)>0, 则称a为严格正的 设a为一正 Hermite型.在D(a)上定义内积: (x,y)a≡a(x,y)+(x,y),c,g∈D(a), (1.19) 则D(a)关于内积()a为一内积空间.如果D(a)关于范数‖·ll 完备,则称a是闭的 定理112设a为H中闭的正 Hermite型,则存在唯一的正 自共轭算子A,使得D(A)cD(a),且 (Ax,y)=a(x,y),x∈D(A),y∈D(a) (120) 证明令 D(A}={x∈D(a):彐cx>0,使得|a(x,y)≤cll,v∈D(a)} (121) 由 Riesz表现定理,Vz∈D(A),存在H中唯一的元素,记为Am, 使得 a(a, y)=(Ax, y), Vy E D(a) 10
显然A∈L(H),A为正的 设z∈H,由(1.19) 1(z,y)≤‖圳‖ly≤lz‖lyla,vy∈D(a) (1.23) 故由 riesz表现定理存在D(a)中唯一的元素,记为Bz,使得 (2, y)=(Bx, y) =a(Bz, y)+(Bx, y). Vy E D(a).(1.24) 往证D(A)=R(B)且在H中稠.由(1.24)及(1.21)知Bz∈D(4) 从而R(B)CD(A).另一方面,由于D(B)=日及x=B(x+ Ax),vc∈D(A),我们有D(A)cR(B).于是D(A)=R(B).但是 由(1.24)知,若y∈D(a)与R(B)正交,则y=0.故R(B)(即 D(A)在D(a)中按范数‖·‖a稠,从而也按比它弱的范数‖·‖ 稠.因此,最终它在H中稠 最后证明A为自共轭算子,由(1.24),Bz=0蕴含(x,3)=0, y∈D(a),从而z=0.这表明B可逆.由于D(B-1)=R(B),故 B-1是稠定的,且有D(A)=D(B-1).由(1.24)及(122)得 (Ax, y)=a(a, y)=(B-2, y)-(e,y), VxE D(A),y E d(a). 因此有A=B-1-I.由于R(B1)=H且B-1为对称算子,由 定理16(5)知B1自共轭,从而A亦为自共轭算子.满足(122) 的算子A的唯一性由引理11推得 有了上述准备以后,我们可以证明如下的 定理1.13( Friedrichs定理)设A∈L(H),A≥c为对称下半有 界,则A有自共轭延拓A,A下半有界,且A≥c 证明首先设A≥1,令 a(e, y)=(A,y), V,yE D(A), (126) 则a为H中严格正 Hermite型,它确定了D(A)上的一个内积 (,)*.我们用D(a)表示D(A4)关于范数‖·‖·的完备化,并用 11