则9(A)及M(A)分别为HK及KH的线性子空间.我们分 别称它们为A的图象和逆图象.若A可逆,则w(4)=9A-2) 设A1,A2∈L(H,K),若9(A1)c9(A2),即D(A1)cD(A2)且 限制在D(41)上A2与A1一致,则称A2是A1的延拓,称A1是 A2在D(A1)上的限制,记为A1CA2或A2A1 设A∈L(H,五).如果9(A)是HK的闭子空间(即w(A) 是K⊕H的闭子空间)则称A为闭算子.若9(A)在HK中 的团包g(A)是某个线性算子A的图象,则称A是可闭的,并称 A是A的闭包.显然,A是可闭的当且仅当{0,y}∈9(A)蕴含 y=0.若A是闭算子,且D(A)=H,则由闭图象定理知A是有 界算子.闭算子的零空间为闭子空间 设A∈L(H,K)为稠定的,令 D(A")={y∈K:cy>0,使得Vz∈D(A),(Ax,y)≤cl|l} 则由 Riesz表现定理,vy∈D(A),存在H中唯一元素,记为A·"y 使得 (, A'y)=(Am,y) VeE D(A). 显然有A·∈D(K,H),我们称A为A的共轭算子.若A,B∈ L(H,K)为稠定的,且ACB,则B*CA 设A∈U(H).如果A稠定且ACA°,即 (Ar,y =(a, Ay) Ve,yE D(A) 则称A是对称的;若进一步有A=A*,则称A是自共轭的 引理11设A∈L(H)为稠定算子,且(Ax,2)=0,V∈D(4) (1)若H为复空间,则A为零算子(即Ax=0,YaED(A); (2)若H为实空间,且A为对称算子,则A为零算子 证明(1)设x,∈D(A),则 (Aa,y)+(Ay,x)=(A(m+y),x+y)-(Ax,)-(Ay,y)=0.(1,4)
在上式两边同乘(=√-1)并用ⅳ代替y得 (Ax,y)-(4y,)=0 1.5 于是由(14)及(15)得(Ax,y)=0,y∈D(A).由于D(A)在H 中稠,这表明Ax=0 (2)由(14)及A的对称性推得 设A∈C(HK),我们用‖A‖表示算子A的范数,即 All=sup{‖Aal:】l=1}. 下一引理给出了对称有界算子范数的另一表达式, 引理12设A∈C(H)为对称算子,则 IA= sup (Ar, r) (1.6) l=1 证明我们有 (Ax,y)+(3,Ax)=(Ax,y)+(4y:x) (A(x+y),x+y)-(A(x-y),x-y) 故有 I(Ar, y)+(3, Az)ls(x +yl*+=-gll)sup [(Az, z) |=1 =(|l|}2+|yl|2)sup(Ax,2) (1.7) x|=1 最后一等式是由于平行四边形定律.为证(1.6),不妨设A是非零 算子·记a=8up|z|=1(Aa,x),则由引理11知a>0.在(17)中 令y=a-1Ax,则得 2a-1A|2≤(l2-2+a-21Ax2)a
即有‖Ax|2<a2|x2,从而‖A≤a.但相反的不等式恒成立,故 (1.6)得证 设A∈L(H,K),B∈L(K,E).B与A的乘积定义如下 D(BA)={x∈D(A):Ax∈D(B)}, (BA)x=B(Aa),c∈D(BA) 于是BA∈L(H,E) 引理13设A∈L(H,K),B∈L(K,E).如果A,B及BA都 是稠定的,则 A·B·c(BA) (1.10) 若进一步B是有界算子,则 A"B·=(BA) (1.11) 证明(1.10)可以从共轭算子定义出发直接验证.为证{11) 只需证(BA)°CA·B*.设B∈C(K,E),由于D(A)=D(BA) D(B*)=E,故对任一y∈D(BA)*),有 (A, B"y)=((BA)a, y)=(a, (BA)y), Va E D(A) 这表明B"y∈D(A)(从而y∈D(AB))且有A·B"y=(BA)’y, 于是(BA)cAB.(1.11)得证 设M为H的一个闭子空间,M为M在H中的正交补, 则对任给x∈H,x有如下唯一分解: 十z 其中y∈M,z∈M4.我们用Pa表示y,称Px为x到M上的投 影.显然P为H上的有界对称线性算子,且是冪等的,即P=P 我们称幂等的有界对称线性算子为投影算子 下一引理给出了投影算子的一个刻画 引理14设P∈C(F).则当且仅当R(P)=M(P)且 P2=P时P为投影算子
证明设R(P)=M(P),且P2=P.则Vax,y∈H,a-Px∈ M(P),y-Py∈N(P),故有 (Pa, y)=(P, Py+(y-Py))=(Pa, Py) (Pt +(a- Pr), Py)=(=, Py) 这表明P是对称的,从而依定义P是投影算子.反之,设P是 投影算子,则 x∈N(P)→y∈H,(x,Py)=(Px,y)=0 →c⊥R(P), 即有N(P)=R(P).又由P2=P推知R(P)=M(I-P),从而 欠(P)为H的闭子空间.因此有R(P)=R(P)=M(P).■ 12可闭算子、对称算子与自共轭算子 定理15设A∈L(H,K)为稠定的,则 (1)A·为闭的,且9(A")=W(-A); (2)若A为闭的,则A*稠定,且A*=A; 3)当且仅当A稠定时A可闭.这时A为A的闭包 证明(1)设y∈K,z∈H,则有 {y,z∈9(A}→y∈D(A"),z=A“g →(2,x)=(y,Ax),m∈D(A →({3,2},{-Ax,x})=0,v∈D(A) 这表明9(A)=w(-A).特别9(A)为K⊕H的闭子空间,即 A·为闭算子 2)由于-A为闭算子,故g(-A)是H⊕K的闭子空间,从 而w(-A)是K田H的闭子空间.由(1)知KH有如下正交分 解: K⊕H=Wv(-A⊕9(A°) (112)
现设z∈K,且z⊥D(A*),则{z,0}⊥9(A·).故由(112)知 {z,0}∈w(-A),从而z=-A0=0.这表明D(A*)在K中稠.对 A*及-A应用(1.12)得 H⊕K=)(-A")由9(A-), KH=w(4)⊕9(-A· (1.14) 但(1.14)等价于H⊕K的如下正交分解: H⊕K=g(A)曲W(-A (1.15) 比较(113)及(115)得9(A)=9(4),即有A=A (3)设A可闭,A是A的闭包,则A>A,由共轭算子定义 知A·→A*.特别D(A-)→D(A*),故由(2)知A·是稠定的.对 A应用(1)得 K⊕H=v(A)g(A) 上式等价于 H⊕K=9(4)M(-A^) (1.17 比较(1.13)及(117)知9(A)=9(A),即A*为A的闭包 反之,设A*稠定,往证A可闭.由于A*为闭算子,(1.13) 仍成立.另一方面恒有(117),故得g(A)=9(A),这表明A是 可闭的 定理16设A∈L(H)且对称,则有下述结论: (1)A可闭,A为A的闭包,A对称; (2)若D(A)=H,则A为有界自共轭算子; (3)若A自共轭且可逆,则R(A)在H中稠且A-1自共轭; (4若R(A)在H中稠,则A可逆 (5)若R(A)=H,则A自共轭且A1为有界自共轭算子 证明(1)由于A*A,故A·稠定,从而由定理15(3)知A 可闭,且A*为A的闭包.此外,由于ACA,故A*+cA* 从而A对称