《流体力学》课程授课教案（讲义）第三章 流体动力学基础

若沿程有流量流进或流出，则总流的连续性方程在形式上需要作相应的修正，如图39 所示的情况，其总流的连续性方程可写为 gm±Qr3=Q (3-25) 式中9，为流进（取正号）或流出（取负号）控制体的流量。 图39 流体运动的连续性方程不涉及任何作用力的性质，对于理想流体和实际流体都适用。 第四节流体微团的运动分析 为了分析整个流场的流体运动形态，首先分析流体微团本身的运动。 一、流体微团运动的分解 在流场中取流体微团，如图310所示，取点A(x,y,:)为基点，在某瞬时的速度 为v=y,i+y,j+y,k,在同一时刻，与A点相近的点C(x+d,y+dy,z+d止)的速度 可由泰勒展开式的前两项表示为 %=,+d++d dy (3-26 =++等+ 在以上各式申分别加入号产器业、号赛膏血和 ±号产如士号产少四项做恒等变换，采用表32中的行号，筒化可得 "a="x+0.dr+Endy+8=d止+o,d止-0，dy "g=y,+0ndy+E=d正+8ndr+0,dr-o,d正(3-26) Vc=V:+0d=+5dx+8dy+o,dy-@,dx 此式为流体微团的速度分解式，也称为亥姆霍兹(Helmhotz)速度分解定理

11 若沿程有流量流进或流出，则总流的连续性方程在形式上需要作相应的修正，如图 3-9 所示的情况，其总流的连续性方程可写为 qV1  QV 3 = QV 2 （3-25） 式中 qV 3 为流进（取正号）或流出（取负号）控制体的流量。 图 3-9 流体运动的连续性方程不涉及任何作用力的性质，对于理想流体和实际流体都适用。 第四节 流体微团的运动分析 为了分析整个流场的流体运动形态，首先分析流体微团本身的运动。 一、流体微团运动的分解 在流场中取流体微团，如图 3-10 所示，取点 A （ x ， y ， z ）为基点，在某瞬时的速度 为 v = vx i+ vy j+ vz k ，在同一时刻，与 A 点相近的点 C （ x + dx ， y + dy ， z + dz ）的速度 可由泰勒展开式的前两项表示为             +   +   = +   +   +   = +   +   +   = + z z v y y v x x v v v z z v y y v x x v v v z z v y y v x x v v v z z z Cz z y y y Cy y x x x Cx x d d d d d d d d d （3-26） 在以上各式中分别加入 z x v y x vy z d 2 1 d 2 1       、 x y v z y vz x d 2 1 d 2 1       和 y z v x z vx y d 2 1 d 2 1       四项，做恒等变换，采用表 3-2 中的符号，简化可得      = + + + + − = + + + + − = + + + + − v v z x y y x v v y z x x z v v x y z z y Cz z z z zx zy Cy y yy yz yx Cx x xx xy xz d d d d d d d d d d d d d d d x y z x y z                （3-26） 此式为流体微团的速度分解式，也称为亥姆霍兹（Helmhotz）速度分解定理

图3-10 表32流体微团速度分解式中的符号 1(y:+ 二、流体微团运动的组成分析 流体微团的速度分解式中，各项分别代表一种简单运动的速度。为了说明(3-26)式中 各项符号的含义，无需分析空间流动的复杂情况，只需分析平面流动就足够了，如图311所 示。此时，y.=0,止=0，故点A的速度只有y,、y,两个分量，而点C的速度则可由(326) 式化简为平面运动的分解公式： Ya=v,+0dx+5 dy-@dy Yo=,+0n dy+5ndx+@dx (3-27) 显然，该式也包括了表32中各种不同的符号。 图31 1.平移运动 如果0。=日n=E,=ex=0,=0,则微团上各点的速度均为y,、Y,即微团只随基点 平移。如图3-12(I)所示，经过d山时间后，ABCD平移到ABCD位置，微团形状不变 由此可见，y,、V,是微团平移在各点引起的速度，称为微团的平移速度。 2.直线变形运动 O。=%的物理意义是？，沿x方向的变化率，0.dr是C、A两点的x方向分速度的变 化量。O,dy是C、A两点的y方向分速度的变化量。在不可压缩流体中，如果 ,=",=E,=E=,=0,则经过d时间后，ABCD变成如图3-12(2)所示的AB'CD 12

12 图 3-10 表 3-2 流体微团速度分解式中的符号            =   =   = z v y v x v z zz y yy x xx                       +   = =           +   = =           +   = = z v x v y v z v x v y v z x xy yx y z yz zy x y xy yx 2 1 2 1 2 1                            −   =         −   =           −   = y v x v x v z v z v y v y x z x z y z y x 2 1 2 1 2 1    二、流体微团运动的组成分析 流体微团的速度分解式中，各项分别代表一种简单运动的速度。为了说明（3-26）式中 各项符号的含义，无需分析空间流动的复杂情况，只需分析平面流动就足够了，如图 3-11 所 示。此时， vz = 0，dz = 0 ，故点 A 的速度只有 x v 、 y v 两个分量，而点 C 的速度则可由（3-26） 式化简为平面运动的分解公式：     = + + + = + + − v v y x x v v x y y Cy y yy yx Cx x xx xy d d d d d d z z       （3-27） 显然，该式也包括了表 3-2 中各种不同的符号。 图 3-11 1．平移运动 如果  xx =  yy =  xy =  yx = z = 0 ，则微团上各点的速度均为 x v 、 y v ，即微团只随基点 平移。如图 3-12（1）所示，经过 dt 时间后， ABCD 平移到 ABCD 位置，微团形状不变。 由此可见， x v 、 y v 是微团平移在各点引起的速度，称为微团的平移速度。 2．直线变形运动 x vx xx    = 的物理意义是 x v 沿 x 方向的变化率， x  xxd 是 C 、 A 两点的 x 方向分速度的变 化量。 y  yyd 是 C 、 A 两点的 y 方 向 分 速 度 的 变 化 量 。 在 不 可 压 缩 流 体 中 ， 如 果 vx = vy =  xy =  yx = z = 0 ，则经过 dt 时间后， ABCD 变成如图 3-12（2）所示的 ABCD

形状。 这种运动称为微团的直线变形运动，日、0，称为直线应变速度。 图312 3.角变形运动 以，一号答密闲84点y方有的室改不，在山时树有，融 y方向的位移量不等，AB边发生偏转（图313），偏转角度 ovdxdt 同理，MB边也发生偏转，偏转角度 0=ma2g-0地8 图3.13 AB、AD边偏转的结果，使微团由原来的矩形变成了平行四边形AB'C'D,微团在xOy 平面上的角变形用二(da+dB)来衡量 5一会今】干有上的角发花院 4.旋转运动 以a一{会】：金国车著孩、0道的方的图医，特 相等，da=dB,此时微团发生角变形，但变形前后的角分线AE的指向不变，以此定义微 团设有旋转，是单纯的角变形。若偏转角da≠dB(图3-14)，变形前后角分线AE的指向发 生变化，表示该微团旋转

13 形状。 这种运动称为微团的直线变形运动，  xx 、 yy 称为直线应变速度。 图 3-12 3．角变形运动 以           +   = x v y vx y xy 2 1  为例。因微团 B 点和 A 点 y 方向的速度不同，在 dt 时间内，两点 y 方向的位移量不等， AB 边发生偏转（图 3-13），偏转角度 t x v x t x v AB BB y y d dx d d d tand 1   =   =   =  = （3-28） 同理， MB 边也发生偏转，偏转角度 t y v y t y v AD DD x x d dy d d d tand 1   =   =   =  = （3-29） 图 3-13 AB 、AD 边偏转的结果，使微团由原来的矩形变成了平行四边形 ABCD ，微团在 xoy 平面上的角变形用 (d d ) 2 1 + 来衡量 ( ) dt t y v x v xy y x d 2 1 d d 2 1   =            +   + =           +   = y v x vy x xy 2 1  是微团在 xoy 平面上的角变形速度。 4．旋转运动 以           −   = y v x vy x z 2 1  为例。在图 3-12 中，若微团 AB 、 AD 边偏转的方向相反，转角 相等， d = d ，此时微团发生角变形，但变形前后的角分线 AE 的指向不变，以此定义微 团没有旋转，是单纯的角变形。若偏转角 d  d （图 3-14），变形前后角分线 AE 的指向发 生变化，表示该微团旋转

图3-14 微元整体的旋转角 dy-(da-dB) 代入式(3-28、(3-29)，得 (3-30) 按平面运动中的各符号的物理意义，可以类推到空间运动，自然速度分解公式中全部符 号的物理意义就都清楚了。 亥姆霍兹定理说明：一般情况下流体微团运动包括平移、旋转和变形（线变形和角变形） 三部分。定理的主要贡献在于找出了这三种运动的数学表达式，为进一步对流体运动进行分 类研究，对确定应力与应变速度的关系莫定了数学分析基础。 第五节理想流体的运动微分方程 一、理想流体的运动微分方程 理想流体的运动微分方程是研究流体运动的基本方程，它是在牛顿第二定律基础上推导 得到的。 作用在理想流体上的表面力与平衡流体一样，只有法向压力。一般情况下，在表面力与 质量力的作用下，流体将产生加速度。因此，采用与推导流体平衡的微分方程相同的处理方 法，并考虑运动流体的惯性力，即可得到理想流体的运动微分方程 人-12亚 p ox dr 5-12 (3-31) 人牌出 其矢量形式为 (3-32) 该式是欧拉在1755年所著的《流体运动的基本原理》中首先提出的，所以又称为欧拉运 动微分方程。它表示了作用在单位质量流体上的力与流体运动加速度的相互关系，适用于可 压缩流体和不可压缩流体的恒定流和非恒定流。 14

14 图 3-14 微元整体的旋转角  (d d ) 2 1 d = − 代入式（3-28）、（3-29），得 dt dt 2 1 d z y x y v x v  =           −   = （3-30）           −   = y v x vy x z 2 1  是微团绕通过 A 点之 z 轴的旋转角速度。 按平面运动中的各符号的物理意义，可以类推到空间运动，自然速度分解公式中全部符 号的物理意义就都清楚了。 亥姆霍兹定理说明：一般情况下流体微团运动包括平移、旋转和变形（线变形和角变形） 三部分。定理的主要贡献在于找出了这三种运动的数学表达式，为进一步对流体运动进行分 类研究，对确定应力与应变速度的关系奠定了数学分析基础。 第五节 理想流体的运动微分方程 一、理想流体的运动微分方程 理想流体的运动微分方程是研究流体运动的基本方程，它是在牛顿第二定律基础上推导 得到的。 作用在理想流体上的表面力与平衡流体一样，只有法向压力。一般情况下，在表面力与 质量力的作用下，流体将产生加速度。因此，采用与推导流体平衡的微分方程相同的处理方 法，并考虑运动流体的惯性力，即可得到理想流体的运动微分方程           =   − =   − =   − t v z p f t v y p f t v x p f z z y y x x d 1 d d 1 d d 1 d    （3-31） 其矢量形式为 t p d 1 d v f −  =  （3-32） 该式是欧拉在 1755 年所著的《流体运动的基本原理》中首先提出的，所以又称为欧拉运 动微分方程。它表示了作用在单位质量流体上的力与流体运动加速度的相互关系，适用于可 压缩流体和不可压缩流体的恒定流和非恒定流

为了便于区分恒定流和非恒定流得欧拉运动微分方程，以当地加速度和迁移加速度表示 上式右端的加速度，欧拉运动微分方程可以写为 ov, (3-33 是-+++ v. 其矢量形式为 -vp-+V) 当为指定流动时，式(59》中的音-受-音-0， ”=0，方程(331)变为流体平衡微分方程，所以流体平衡微分方程式是流体运动 d 方程的特例。 二、欧拉运动微分方程的积分 理想流体运动微分方程式中共有八个物理量，单位质量力∫，∫，∫通常是已知的， 对于不可压缩流体，P为常数，三个方程，四个未知量，"，八，p,与连续性方程式 联立，理论上方程组封闭可解。 流体运动微分方程只有积分成普通方程式，才可以用来解决实际流动问题。但由于其为 非线性偏微分方程组，目前尚未找到它的通解，只有特定条件下的积分。其中最著名的伯努 利(Bernoulli)积分，是在以下限定条件下得到的： )恒定流动则9=0，所以 2)流体为不可压缩，即p=常数 3)作用在流体上的质量力有势，则存在势函数W，使得 人+f,d+f.止=dW 4)沿流线积分，此时 dx/dt =v,dy/dt=v,d=/dt =v. 将欧拉运动微分方程(331)各式分别乘以同一流线上的微元线段矢量ds的投影d女 6

15 为了便于区分恒定流和非恒定流得欧拉运动微分方程，以当地加速度和迁移加速度表示 上式右端的加速度，欧拉运动微分方程可以写为             +   +   +   =   −   +   +   +   =   −   +   +   +  =   − z v v y v v x v v t v z p f z v v y v v x v v t v y p f z v v y v v x v v t v x p f z z z y z x z z y z y y y x y y x z x y x x x x    1 1 d 1 （3-33） 其矢量形式为 (v )v v f +    −  = t p  1 当为恒定流动时，式（3-33）中的 0 d d d =  =  =  t v t v t vx y z 。 若 0 d d = t v ，方程（3-31）变为流体平衡微分方程，所以流体平衡微分方程式是流体运动 方程的特例。 二、欧拉运动微分方程的积分 理想流体运动微分方程式中共有八个物理量，单位质量力 x f ， y f ， z f 通常是已知的， 对于不可压缩流体，  为常数，三个方程，四个未知量 x v ， y v ， z v ， p ，与连续性方程式 联立，理论上方程组封闭可解。 流体运动微分方程只有积分成普通方程式，才可以用来解决实际流动问题。但由于其为 非线性偏微分方程组，目前尚未找到它的通解，只有特定条件下的积分。其中最著名的伯努 利（Bernoulli）积分，是在以下限定条件下得到的： 1) 恒定流动 则 ( ) = 0   • t ，所以 z z p y y p x x p dp d d d   +   +   = 2） 流体为不可压缩，即  = 常数。 3） 作用在流体上的质量力有势，则存在势函数 W ，使得 f xdx + f ydy + f zdz = dW 4） 沿流线积分，此时 x dx dt = v ， y dy dt = v ， z dz dt = v 将欧拉运动微分方程（3-31）各式分别乘以同一流线上的微元线段矢量 d s 的投影 dx