《流体力学》课程授课教案（讲义）第四章 相似理论与量纲分析

第四章相似理论与量纲分析 在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段 来研究流体运动规律的物理本质。工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察 实验：另一种是工程性的模型实验。实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学 问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。 借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行 实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等：也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模 型实验，从而减少实验费用。而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合， 选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据 的整理和分析变得比较容易。因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而 且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。 第一节相似理论 为了能够使模型流动（以下标“m”表示）表现出原型流动（以下标“p”表示）的主要 现象和物理本质，并能从模型流动上预测原型流动的结果，必须使模型流动与原型流动保持 力学的相似关系，所谓力学相似是指模型流动和原型流动在对应部位上的对应物理量都应该 有一定的比例关系，具体说包括下列三个方面的内容。 一、几何相似 几何相似指原型与模型之间保持几何形状和几何尺寸的相似，也就是原型和模型的对应 边长保持一定的比例关系，对应角相等。设原型的线性长度为1。，模型的线性长度为'，两 者的比值用入，表示，称为尺度比例系数 (4-1) 而面积比例系数和体积比例系数可分别表示为

1 第四章 相似理论与量纲分析 在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段 来研究流体运动规律的物理本质。工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察 实验；另一种是工程性的模型实验。实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学 问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。 借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行 实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模 型实验，从而减少实验费用。而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合， 选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据 的整理和分析变得比较容易。因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而 且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。 第一节 相似理论 为了能够使模型流动（以下标“m”表示）表现出原型流动（以下标“p”表示）的主要 现象和物理本质，并能从模型流动上预测原型流动的结果，必须使模型流动与原型流动保持 力学的相似关系，所谓力学相似是指模型流动和原型流动在对应部位上的对应物理量都应该 有一定的比例关系，具体说包括下列三个方面的内容。 一、几何相似 几何相似指原型与模型之间保持几何形状和几何尺寸的相似，也就是原型和模型的对应 边长保持一定的比例关系，对应角相等。设原型的线性长度为 p l ，模型的线性长度为 m l ，两 者的比值用 l 表示，称为尺度比例系数 m P l l l  = （4-1） 而面积比例系数和体积比例系数可分别表示为 2 l m P A A A  = = 

(4-2) 二、运动相似 运动相似是指原型流动与模型流动的流线几何相似，而且对应点上的速度成比例，或者 说，两个流动的速度场是几何相似的。设时间比例系数为入， 则速度比例系数入，可以写为 Vi (43) 运动相似是建立在几何相似基础上的，在尺度比例系数一定的情况下，运动相似只要确 定时间比例系数，就可以了，所以运动相似也称为时间相似，几何相似也称为空间相似。这 样，其他一些运动学物理量的比例系数均可表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合， 例如，加速度比例系数入和角速度比例系数入可以表示为 九=2 = (44) 运动粘度系数、流量都具有运动学的量纲，因此运动粘度比例系数、流量比例系数入， 可以分别表示为 ==对 元，=92=龙 (4-5)

2 3 l m P V V V  = =  （4-2） 二、运动相似 运动相似是指原型流动与模型流动的流线几何相似，而且对应点上的速度成比例，或者 说，两个流动的速度场是几何相似的。设时间比例系数为 t m p t t t  = 则速度比例系数 v 可以写为 t l m p v v v    = = （4-3） 运动相似是建立在几何相似基础上的，在尺度比例系数一定的情况下，运动相似只要确 定时间比例系数 t 就可以了，所以运动相似也称为时间相似，几何相似也称为空间相似。这 样，其他一些运动学物理量的比例系数均可表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合， 例如，加速度比例系数  a 和角速度比例系数  可以表示为 −2 a = lt −1  = t （4-4） 运动粘度系数、流量都具有运动学的量纲，因此运动粘度比例系数  、流量比例系数  q 可以分别表示为 2 −1 = = l t m p      3 −1 = = l t m p q q q    （4-5）

三、动力相似 动力相似是指原型流动和模型流动中对应点上作用者同名的力，各同名力的方向相同且 具有同一比例。设为力比例系数 (4-6 力比例系数也可写成 e=九。=(0月X2)=元及 (4.7) 同样，可以写出其它力学量的比例系数，如力矩M、功率P、压强P、动力粘度“的比 例系数可分别表示为 微 1p=y=1,是 ，===元， 成经从 (4-8) 上述公式表明，要使模型流动和原型流动相似，需要这两个流动在几何相似和运动相似 的条件下受力相似，后者又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动 和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准数都相等。 四、相似准则 描写流体运动和受力关系的是流体运动微分方程（动力学方程）。两个相似流动必须满足 同一运动微分方程(NS方程)。现分别写出模型流动和原型流动的不可压缩流体的运动微分 方程标量形式第一式 1 OP+v,AV

3 三、动力相似 动力相似是指原型流动和模型流动中对应点上作用着同名的力，各同名力的方向相同且 具有同一比例。设  F 为力比例系数 m p F F F  = （4-6） 力比例系数也可写成 3 2 2 2 ( )( )  F = ma = l lt = l v − （4-7） 同样，可以写出其它力学量的比例系数，如力矩 M 、功率 P 、压强 p 、动力粘度  的比 例系数可分别表示为 3 2 ( ) ( ) l v m p M Fl Fl  = =   1 2 3  P =  M t = l v − 2 v A F m p p p p      = = =  l v m p        = =  （4-8） 上述公式表明，要使模型流动和原型流动相似，需要这两个流动在几何相似和运动相似 的条件下受力相似，后者又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动 和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准数都相等。 四、相似准则 描写流体运动和受力关系的是流体运动微分方程（动力学方程）。两个相似流动必须满足 同一运动微分方程（N-S 方程）。现分别写出模型流动和原型流动的不可压缩流体的运动微分 方程标量形式第一式 p xp p p p xp p xp z p p xp yp p xp xp p xp v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1

容器》0人接w pdx (49) 所有同类物理量均具有同一比例系数，因此有 xp=xm;yp=》m2p=m Vp=入，Vm；Vp=入ym;Vp=元ym In Atmi Pe=hopa:Vyn=Awvm Pe=hppa:Ir=Ayfm 由对模型的和原型的两运动微分方程以及同类物理量有同一比例的关系并经对比可写出下式 1p-入入 (1)(2)(3)(4)(5) 上述5项分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、法向表面力压力、切向表 面力-摩擦力，因此上式就表示模型流动与原型流动的力多边形相似。 将上式中的位变惯性力]除全式，可得 (1) (2)(3)(4) (4-10) 上式中的(1)、(2、(3)、(4)项表示模型流动和原型流动在动力相似时各比例系数之间有 一个约束，并非各比例系数的数值可以随使取值。对其进一步分析可以得到以下各相以准购 (相似准数)： (一)斯特劳哈(Strouhal)相似准数S,=Ivt 这是由式(4-10)第一项得出的，由此 (411) (4-12) 令S=品动力相似中要求S=5 斯特劳哈相似准数是一个无量纲的量，它是由I,1这三个物理量以上述形式组合的 4

4 m xm m m m xm m xm zm m xm ym m xm xm m xm v x p f z v v y v v x v v t v +    = −   +   +   +     1 （4-9） 所有同类物理量均具有同一比例系数，因此有 p t m p m xp xm p p m p f m xp v xm yp v yxm z p v z m p l m p l m p l m t t p p f f v v v v v v x x y y z z                = =  =  = = = = = = = = ; ; ; ; ; ; 由对模型的和原型的两运动微分方程以及同类物理量有同一比例的关系并经对比可写出下式 2 2 l v l p g l v t v              = = = = （1）（2） （3） （4） （5） 上述 5 项分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、法向表面力-压力、切向表 面力-摩擦力，因此上式就表示模型流动与原型流动的力多边形相似。 将上式中的位变惯性力       l v   2 除全式，可得 v l v p v l g v t l               = = = = 2 2 1 （1） （2） （3） （4） （4-10） 上式中的（1）、（2）、（3）、（4）项表示模型流动和原型流动在动力相似时各比例系数之间有 一个约束，并非各比例系数的数值可以随便取值。对其进一步分析可以得到以下各相似准则 （相似准数）： （一）斯特劳哈（Strouhal）相似准数 S l vt r = 这是由式(4-10)第一项得出的，由此 = 1 v t l    （4-11） m p m p m p t t v v l l = （4-12） 令 vt l Sr = ，动力相似中要求 Srm = Srp 斯特劳哈相似准数是一个无量纲的量，它是由 l ， v ， t 这三个物理量以上述形式组合的

一个物理量。它代表了时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流动运动随时间变化的情况， 也称为非定常相似准数。 (二)弗劳德(Froude)相似准数F=v2/gl 这是由式(410)第二项得出的，由此 2 名秀1 (413 vi gml (4.14) 动力相似中要求F=5, 弗劳德相似准数是一个无量纲的量，它是由V,g,I这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中惯性力和重力之比，反映了流体中重力作用的影响程度，也称 为重力相似准数。 (三)欧拉(Euler)相似准数E。=plpm 这是由式(410)第三项得出的，由此 (4-15) Pe-Ppvi P.P v2 (4-16 令E,=尽，动力相似中要求E。=E即 欧拉相似准数是一个无量纲的量，它是由P,PV,这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中所受的压力和惯性力之比，也称为压力相似准数。 (四)雷诺(Reynolds)相似准数R=vl=pwl4 这是由式(410)第四项得出的，由此 5

5 一个物理量。它代表了时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流动运动随时间变化的情况， 也称为非定常相似准数。 （二）弗劳德（Froude）相似准数 F v gl r 2 = 这是由式(4-10)第二项得出的，由此 1 2 = g l v    （4-13） m p m p m p l l g g v v = 2 2 （4-14） 令 gl v Fr 2 = ，动力相似中要求 Frm = Frp 弗劳德相似准数是一个无量纲的量，它是由 v ， g ， l 这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中惯性力和重力之比，反映了流体中重力作用的影响程度，也称 为重力相似准数。 （三）欧拉（Euler）相似准数 2 E p v u =  这是由式(4-10)第三项得出的，由此 1 2 = v p     （4-15） 2 2 m p m p m p v v p p   = （4-16） 令 2 v p Eu  = ，动力相似中要求 Eum = Eup 欧拉相似准数是一个无量纲的量，它是由 p ，  v ，这三个物理量以上述形式组合的 一个物理量。它代表了流动中所受的压力和惯性力之比，也称为压力相似准数。 （四）雷诺（Reynolds）相似准数 Re = vl  = vl/  这是由式(4-10)第四项得出的，由此