d少、d止，然后相加，得 G+1+1)黑++是-尝++货 将上述四个限定条件代入上式，得 dW-dp/p=v,dv,+v,dv,+v.dv:=dlv2/2) 因为P=常数，故上式可写成 d(w-p/p-v-/2)=0 积分后，得 W-p/p-v22=常数 (3-34) 式(334)就是伯努利积分。对于不可压缩的理想流体，在有势的质量力作用下作恒定 流动时，在同一流线上W-p/-v2保持恒定。但对于不同的流线，伯努利积分常数一般 是不同的。 第六节伯努利方程 伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的数学表达形式，在流体力学基本理论中占有 重要位置，它形式简单，意义明确，有着广泛的应用。 一、理想流体恒定元流的伯努利方程 如果质量力只有重力，则恒定不可压缩流体的质量力势函数甲=一g,将其代入沿流线 的伯努利积分式(334)中，由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线积分就是沿元流积 分，可得 =C 2+卫 v2 (3-35) pg 28 (3-35) 这就是理想流体恒定元流的伯努利方程。 如果流动速度为零，则由伯努利方程又可得出平衡流体的流体静力学基本方程式 因此，伯务利方程中式各项的物理意义和几何意义也就比较明显。 从物理角度看，：代表单位重量流体对某基准面具有的位能，pg代表单位重力流体 6
16 dy 、 dz ，然后相加，得 ( ) dz dt d dy dt d dx dt d d d d 1 x y z x y z v v v z z p y y p x x p f dx f dy f dz = + + + + + + − 将上述四个限定条件代入上式，得 d d d d d d( 2) 2 p v v v v v v v W− = x x + y y + z z = 因为 = 常数，故上式可写成 d( 2) 0 2 W − p − v = 积分后，得 − − 2 = 2 W p v 常数 （3-34） 式（3-34）就是伯努利积分。对于不可压缩的理想流体，在有势的质量力作用下作恒定 流动时，在同一流线上 2 2 W − p − v 保持恒定。但对于不同的流线，伯努利积分常数一般 是不同的。 第六节 伯努利方程 伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的数学表达形式，在流体力学基本理论中占有 重要位置，它形式简单，意义明确，有着广泛的应用。 一、理想流体恒定元流的伯努利方程 如果质量力只有重力，则恒定不可压缩流体的质量力势函数 W = −gz ，将其代入沿流线 的伯努利积分式（3-34）中，由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线积分就是沿元流积 分，可得 C g v g p z + + = 2 2 （3-35） 或 g v g p z g v g p z 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + = + + （3-35） 这就是理想流体恒定元流的伯努利方程。 如果流动速度为零，则由伯努利方程又可得出平衡流体的流体静力学基本方程式 C g p z + = 因此，伯努利方程中式各项的物理意义和几何意义也就比较明显。 从物理角度看， z 代表单位重量流体对某基准面具有的位能， p g 代表单位重力流体
的压能，/2g代表单位重力流体的动能。因此，伯努利方程的物理意义为：对于重力作用 下的恒定不可压缩流体，单位重量流体所具有的位能、动能和压能之和即机械能沿流线不变。 由此可见，伯努利方程实质就是物理学能量守恒定律在流体力学上的一种表现形式。 从几何角度看，伯努利方程的每一项的量纲与长度相同，都代表某一个高度。：代表所 研究点相对于某基准面的几何高度，称为位置水头，P3代表所研究点处压力大小的高度，。 称为压强水头，2/2g代表所研究点处速度大小的高度，称为速度水头。通常将位置水头与 压强水头之和称为测压管水头，测压管水头与速度水头之和称为总水头。伯努利方程的几何 意义为：对于重力作用下的恒定不可压缩流体，总水头为一常数，或总水头沿流线相等。 二、实际流体恒定元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，在运动时由于流层间内摩擦力做功，将一部分机械能转变为热能而 耗散，因此实际流体流动的机械能将沿程减少。根据能量守恒定律，可得实际流体恒定元流 的伯努利方程 (3.36】 其中，以表示单位重量流体沿若流线从1点到2点的机械能损失。方程(3-36)中各项 及总水头、测压管水头的沿程变化如图315所示。 图3-15 可知，实际流体的总水头线是沿程下降的，下降的快慢用水力坡度J表示，即 (3-37) 而测压管水头线沿程可升、可降，也可不变。 三、实际流体恒定总流的伯努利方程 在实际工程中需要解决的往往是总流流动问题，如管路或渠道中的流动。因此，应该将 元流的伯努利方程推广到总流中去。 将式(3-36)两边乘以重量流量Pgdq。=PgY,d4,=PgY,d42,得单位时间内通过元流两 过流断面的能量平衡关系 4-+度+4+成s
17 的压能， v 2g 2 代表单位重力流体的动能。因此，伯努利方程的物理意义为：对于重力作用 下的恒定不可压缩流体，单位重量流体所具有的位能、动能和压能之和即机械能沿流线不变。 由此可见，伯努利方程实质就是物理学能量守恒定律在流体力学上的一种表现形式。 从几何角度看，伯努利方程的每一项的量纲与长度相同，都代表某一个高度。 z 代表所 研究点相对于某基准面的几何高度，称为位置水头， p g 代表所研究点处压力大小的高度， 称为压强水头， v 2g 2 代表所研究点处速度大小的高度，称为速度水头。通常将位置水头与 压强水头之和称为测压管水头，测压管水头与速度水头之和称为总水头。伯努利方程的几何 意义为：对于重力作用下的恒定不可压缩流体，总水头为一常数，或总水头沿流线相等。 二、实际流体恒定元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，在运动时由于流层间内摩擦力做功，将一部分机械能转变为热能而 耗散，因此实际流体流动的机械能将沿程减少。根据能量守恒定律，可得实际流体恒定元流 的伯努利方程 hw g v g p z g v g p z + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 （3-36） 其中， w h 表示单位重量流体沿着流线从 1 点到 2 点的机械能损失。方程（3-36）中各项 及总水头、测压管水头的沿程变化如图 3-15 所示。 图 3-15 可知，实际流体的总水头线是沿程下降的，下降的快慢用水力坡度 J 表示，即 s h J w d d = （3-37） 而测压管水头线沿程可升、可降，也可不变。 三、实际流体恒定总流的伯努利方程 在实际工程中需要解决的往往是总流流动问题，如管路或渠道中的流动。因此，应该将 元流的伯努利方程推广到总流中去。 将式（3-36）两边乘以重量流量 gdqv = gv1dA1 = gv2dA2 ，得单位时间内通过元流两 过流断面的能量平衡关系 gv A hw g qv g v g p gv A z g v g p z d d 2 d 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 + = + + + +
将上式在总流过流断面上积分，可得单位时间内通过总流两过流断面的能量平衡关系 Pg,d4+∫kPgg.3-38) 为进行积分运算，需要对流动进一步的限制。 假定过流断面取在渐变流断面上，则过流断面上流体压力按静压力规律分布，即同一过 流断面上各点的：+p叫g≈常数，此时积分 e+ma=+u+网a 以断面平均流速下来表示单位时间内通过过流断面的实际动能，则 后罗e写mew 其中为动能修正系数。因为用断面平均流速代替实际流速计算动能时会引起误差，为 予以修正而引入动能修正系数，它等于实际动能与按平均流速计算的动能之比，即 Q=. 2g%d44 3 29 A 值与断面流速分布有关， 般情况下=1.05~1.10，在渐变流动情况下，通常取 a=1.0。 单位时间内总流在两过流断面间的机械能损失，根据积分中值定理，可得 kP8dg=h,P89.(3-41) 其中h为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为水头损失。 将式(3-39)、(3-40)、(3-41)代入式(3-38)，化简后得 (3-42) pg 2g 上式就是实际流体恒定总流的伯努利方程，其每一项得物理意义和几何意义与元流的伯 努利方程相类似。 总流的伯努利方程中是在一些限制条件下得到的，应用该方程时需要满足这些限制条件： (1)流体不可压缩： (2)流动是恒定的： (3)质量力只有重力： (4)过流断面上的流动必须是渐变流，但两过流惭面间可以是急变流。 需要注意的是，如果两过流断面间装有水泵、水轮机或风机等装置时，流体将获得或失
18 将上式在总流过流断面上积分，可得单位时间内通过总流两过流断面的能量平衡关系 + = + + + + w v A A gv A h g q g v g p gv A z g v g p z d d 2 d 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 （3-38） 为进行积分运算，需要对流动进一步的限制。 假定过流断面取在渐变流断面上，则过流断面上流体压力按静压力规律分布，即同一过 流断面上各点的 z + p g 常数，此时积分 V A A gq g p v A z g p gv A g z g p z = + = + + d d （3-39） 以断面平均流速 v 来表示单位时间内通过过流断面的实际动能，则 V A gq g v gA g v gv A g v 2 2 d 2 2 3 2 = = （3-40） 其中 为动能修正系数。因为用断面平均流速代替实际流速计算动能时会引起误差，为 予以修正而引入动能修正系数，它等于实际动能与按平均流速计算的动能之比，即 v A v A gA g v g A g v A A 3 3 3 3 d 2 d 2 = = 值与断面流速分布有关，一般情况下 =1.05 ~1.10 ，在渐变流动情况下，通常取 =1.0。 单位时间内总流在两过流断面间的机械能损失，根据积分中值定理，可得 w v q hw g qv h gq v = d （3-41） 其中 w h 为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为水头损失。 将式（3-39）、（3-40）、（3-41）代入式（3-38），化简后得 hw g v g p z g v g p z + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 （3-42） 上式就是实际流体恒定总流的伯努利方程，其每一项得物理意义和几何意义与元流的伯 努利方程相类似。 总流的伯努利方程中是在一些限制条件下得到的，应用该方程时需要满足这些限制条件： （1）流体不可压缩； （2）流动是恒定的； （3）质量力只有重力； （4）过流断面上的流动必须是渐变流，但两过流断面间可以是急变流。 需要注意的是，如果两过流断面间装有水泵、水轮机或风机等装置时，流体将获得或失
去能量，则总流的伯努利方程变为 2g 其中，+H表示单位重量流体通过水泵、风机时获得的能量，一H表示单位重量流体通 过水轮机时失去的能量。 例32用直径d=100m的水管从水箱引水（图3-16）。水箱水面与管道出口断面中心 的高差H=4m,且保持恒定，水头损失九，=3m水柱。试求管道的流量。 图3-16 解：这是一个总流的问题，应用伯努利方程 首先选取基准面、计算断面和计算点。为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面 为基准面00。计算断面应选在渐变流断面，并使其中一个已知量最多，另一个含待求量。 按以上原则，本题选水箱水面为1-1断面，计算点在自由水面上，流动参数=H,乃=0， 片≈0。选管道出口断面为2-2断面，以出口断面的中心为计算点，流动参数二2=0，P2=0, ,待求。将各量代入总流伯努利方程 H=g+h取=0 流速=√2g(H-h)=4.43ms 流量0-24-0.035m3/5 例3-3有一如图3-17所示水泵管路系统，已知：流量g=101m3h,管径d=150mm, 管径的总水头损失h-2=25.4m,水泵的效率7=75.5%，试求 (1)水泵的扬程H。: (2)水泵的功率P。 9
19 去能量，则总流的伯努利方程变为 hw g v g p H z g v g p z + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 （3-43） 其中， + H 表示单位重量流体通过水泵、风机时获得的能量，− H 表示单位重量流体通 过水轮机时失去的能量。 例 3-2 用直径 d =100mm 的水管从水箱引水（图 3-16）。水箱水面与管道出口断面中心 的高差 H = 4m ，且保持恒定，水头损失 w h = 3m 水柱。试求管道的流量。 图 3-16 解：这是一个总流的问题，应用伯努利方程 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 w p v p v z z h g g g g + + = + + + 首先选取基准面、计算断面和计算点。为便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面 为基准面 o-o。计算断面应选在渐变流断面，并使其中一个已知量最多，另一个含待求量。 按以上原则，本题选水箱水面为 1 1− 断面，计算点在自由水面上，流动参数 1 z H= ， 1 p = 0 ， 1 v 0 。选管道出口断面为 2 2 − 断面，以出口断面的中心为计算点，流动参数 2 z = 0 ， 2 p = 0 ， 2 v 待求。将各量代入总流伯努利方程 2 2 2 2 w v H h g = + 取 2 =10. 流速 v H h 2 w = − = 2g 4 43m s ( ) . 流量 3 2 2 Q v A = = 0 035m s . 例 3-3 有一如图 3-17 所示水泵管路系统，已知：流量 3 q =101m h ，管径 d =150mm， 管径的总水头损失 1 2 25 4m. w h − = ，水泵的效率 = 75.5% ，试求： （1）水泵的扬程 H p ； （2）水泵的功率 P p