第二章流体静力学 流体静力学研究的是平衡流体的力学规律及其在工程技术中的应用。 平衡包括两种，一种是流体对固结于地面的坐标系无相对运动，称为重力场中的流体平 衡。一种是流体对运动坐标系无相对运动，称流体的相对平衡。 平衡流体互相之间无相对运动，因而流体粘性在平衡状态下无从显示，流体静力学所得 出的结论对理想流体和实际流体均适用，分析与实验结果完全一致。流体静力学是工程流体 力学中独立完整而又严密符合实际的一部分内容，这里的理论不需要实验修正。 流体静力学中压强分布规律在工程中的应用比较广泛。如液柱式压力计的测量原理、液 压传动中增压器压强的增大、内燃机中汽油发动机汽化器浮子室的设计、起动机械中液压系 统的设计，如千斤顶、液压活塞等，均要利用静水压强分布规律。它是研究流体运动规律的 基础。 第一节流体静压强及其特性 从静止或相对静止状态的均质流体中，取一体积V,四周流体对ν的作用力用箭头表示。 如图21所示，用平面ABCD将流体分为两部分。假定将1部分移去，用等效的力代替它作 用于Ⅱ部分的力，使其不失去平衡。从平面取一微元面积△A,0点是该面积的中点。△P为 移去部分作用在△4上的总作用力，即流体静压力：△A为流体静压力△P的作用面积。它们 的比值称为面积△山上的平药均流体静压强，用下表示。P一岩 。当面积△4无限缩小到0点 时，比值趋近一极限值，成为O点的流体静压强，用p表示： AP dP p-limMd (2.1) 图21平衡流体上的作用力
1 第二章 流体静力学 流体静力学研究的是平衡流体的力学规律及其在工程技术中的应用。 平衡包括两种，一种是流体对固结于地面的坐标系无相对运动，称为重力场中的流体平 衡。一种是流体对运动坐标系无相对运动，称流体的相对平衡。 平衡流体互相之间无相对运动，因而流体粘性在平衡状态下无从显示，流体静力学所得 出的结论对理想流体和实际流体均适用，分析与实验结果完全一致。流体静力学是工程流体 力学中独立完整而又严密符合实际的一部分内容，这里的理论不需要实验修正。 流体静力学中压强分布规律在工程中的应用比较广泛。如液柱式压力计的测量原理、液 压传动中增压器压强的增大、内燃机中汽油发动机汽化器浮子室的设计、起动机械中液压系 统的设计，如千斤顶、液压活塞等，均要利用静水压强分布规律。它是研究流体运动规律的 基础。 第一节 流体静压强及其特性 从静止或相对静止状态的均质流体中，取一体积 v，四周流体对 v 的作用力用箭头表示。 如图 2-1 所示，用平面 ABCD 将流体分为两部分。假定将 I 部分移去，用等效的力代替它作 用于 II 部分的力，使其不失去平衡。从平面取一微元面积 A ，O 点是该面积的中点。 P 为 移去部分作用在 A 上的总作用力，即流体静压力； A 为流体静压力 P 的作用面积。它们 的比值称为面积 A 上的平均流体静压强，用 P 表示： A P P = 。当面积 A 无限缩小到 O 点 时，比值趋近一极限值，成为 O 点的流体静压强，用 p 表示： dA dP A P p A a = = → lim （2-1） 图 2-1 平衡流体上的作用力 A B D C 1 2 A V B D C 1 2 V A B D C P 2 O A
可以看出，流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。前者是作用在某一面积上 的总压力，单位为N:后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强，单位为P。 二、流体静压强的特性 流体静压强有两个特性： 1.静压强始终沿作用面的内法向方向 证明：采用反证法 图2-2流体静压强 如图2-2所示，假定某点O的静压强为任意方向的P,它可分解为垂直作用面即法向的 P及切向的切应力：，由于切应力t的存在，流体必然产生流动，而实际上流体是处于平衡状 态的，与假设矛盾，因此x不可能存在，即平衡状态下流体静压强只能是沿作用法线方向。设 P是沿着外法向方向的拉力，它与流体在力学上表现的两个特征之一，即流体不能承受拉应 力相矛盾，因此必为沿内法向方向的压力。 由此可证：静压强始终沿作用面内法向方向。 2.静压强的大小与作用面方位无关。 证明： 如图2-3所示，在静止流体内部，过任意一点O,任取一微元四面体，其三条边d,d 止分别与x,y,:轴重合。则
2 可以看出，流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。前者是作用在某一面积上 的总压力，单位为 N；后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强，单位为 Pa。 二、流体静压强的特性 流体静压强有两个特性： 1．静压强始终沿作用面的内法向方向 证明：采用反证法 图 2-2 流体静压强 如图 2-2 所示，假定某点 O 的静压强为任意方向的 p，它可分解为垂直作用面即法向的 pn 及切向的切应力 ，由于切应力的存在，流体必然产生流动，而实际上流体是处于平衡状 态的，与假设矛盾，因此不可能存在，即平衡状态下流体静压强只能是沿作用法线方向。设 pn 是沿着外法向方向的拉力，它与流体在力学上表现的两个特征之一，即流体不能承受拉应 力相矛盾，因此 pn 必为沿内法向方向的压力。 由此可证：静压强始终沿作用面内法向方向。 2．静压强的大小与作用面方位无关。 证明： 如图 2-3 所示，在静止流体内部，过任意一点 O，任取一微元四面体，其三条边 dx，dy， dz 分别与 x，y，z 轴重合。则 x y z A B C o x p py pz n p n dx dy dz x y z A B C o x p py pz n p n dx dy dz pn p O
图23平衡流体中的微元四面体 04=lim Ax=dox OB=lim Ay=dy (2-3) 0C=lm△=d止 均为无穷小量。 体积 (2-4) 设斜面ABC外法线方向的单位矢量为n,它与三个坐标轴正向的夹角分别为口，B,y, MBC-cosa=dd MBC-cosd= (2-5) △MBC-cosy=drd 设密度P,单位质量力∫为 f-fi+fj+fk (2-60 则微元流体上的质量力为 df.=p。dt(Ui+fji+f (2-70 设四面体每个面上任何一点的压强分别用P,P及P,表示，则作用在微元四面体上 表面力为 dF=(p.dvd-p.AABCcosa)i +(P,dxd-P.AABCcosB)j +(p.dyd=-p.AABCcosy)k =(p.-P.)dd-i+(P,-p.)dxd-j+(p.-p.)drdyk(2-8) 流体处于平衡，则有 dF +dF=0 (2-9 所以 3
3 图 2-3 平衡流体中的微元四面体 0 0 0 lim lim C lim x y z OA x x OB y y O z z → → → = = = = = = d d d (2-3) 均为无穷小量。 体积 1 d d d d 6 V x y z = (2-4) 设斜面 ABC 外法线方向的单位矢量为 n ，它与三个坐标轴正向的夹角分别为α，β，γ， 则 1 cos d d 2 1 cos d d 2 1 cos d d 2 ABC y z ABC x z ABC x y = = = (2-5) 设密度ρ，单位质量力 f 为 x y z f i j k = + + f f f (2-6) 则微元流体上的质量力为 1 d d d d ( ) 6 m x y z F i j k = + + x y z f f f (2-7) 设四面体每个面上任何一点的压强分别用 px，py，pz 及 pn 表示，则作用在微元四面体上 表面力为 1 d ( d d cos ) 2 1 ( d d cos ) 2 1 ( d d cos ) 2 1 1 1 ( ) d d ( ) d d ( ) d d (2 8) 2 2 2 x n y n z n x n y n z n F p y z p ABC p x z p ABC p y z p ABC p p y z p p x z p p x y = − + − + − = − + − + − − i j k i j k 流体处于平衡，则有 d d 0 F F m + = (2-9) 所以
君ddt+(n,-pt=0 君ddt+0,-p2t=0 (2-10) 号fddt+(.-a,片=0 式中第一项与第二项相比为高阶无穷小量，略去不计，所以 P:=Py=P:=P. (2-1) 此式说明在静止流体中任一点处的压强值与作用面的方位无关。若以表示静止流体中 某点处的压强，则仅是空间坐标的函数，即 p=p(y,=） 因此压强同温度与密度一样，为标量。 第二节流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程式 为了求解流体平衡的规律，在静止流体中取边长各为d,dy,d:的微元六面体，如图2-4 所示，其中心点Mx,y,静压强为p。 0 dx 2 dx 2 .x 图2-4微元六面体 由于流体静压强是点的坐标的连续函数，因此左面中心点B及右面中心点C点的静压强 按照泰勒级数展开为 =p+(+8+a
4 1 d d d ( ) d d 0 6 2 1 d d d ( ) d d 0 6 2 1 d d d ( ) d d 0 6 2 x x n y y n z z n f x y z p p y z f x y z p p x z f x y z p p x y + − = + − = + − = (2-10) 式中第一项与第二项相比为高阶无穷小量，略去不计，所以 px = py = pz = pn (2-11) 此式说明在静止流体中任一点处的压强值与作用面的方位无关。若以 p 表示静止流体中 某点处的压强，则 p 仅是空间坐标的函数，即 p p x y z = ( , , ) 因此压强同温度与密度一样，为标量。 第二节 流体平衡微分方程 一、欧拉平衡方程式 为了求解流体平衡的规律,在静止流体中取边长各为 dx，dy，dz 的微元六面体，如图 2-4 所示，其中心点 M(x,y,z),静压强为 p。 图 2-4 微元六面体 由于流体静压强是点的坐标的连续函数，因此左面中心点 B 及右面中心点 C 点的静压强 按照泰勒级数展开为 2 3 2 3 2 3 d 1 d 1 d 2 2! 2 3! 2 B p x p x p x p p x x x = + − + − + − + （2-12） y x z 2 dx x p p + 2 dx x p p − dy (x, y,z) dx dz M B C y x z 2 dx x p p + 2 dx x p p − dy (x, y,z) dx dz M B C
=p+}+欲+ (2-13) 忽略高阶无穷小量，则B、C点处的静压强分别为 A=p安变 (2-14) k=p叶密变 (2-15) 则得x轴方向流体的表面力的合力为 中，=-p=a,-A止=-要andd (2-16 设流体的密度为P,∫为单位质量力，∫，了为单位质量力分力，则流体的质量力在x 轴上的分力为 dF,=dm.f,=pdxdvdf, (2-17) 由于流体处于平衡状态，则微元体在x轴方向的平衡方程式∑F=0(或dE+d,=0) 将式(2-16)、(2-17)代入可得 fpxrdd-Pdrdxd-0 (2-18) 以质量dm=pdxdyd-除上式，得 同理可得 (2-19) 写成矢量方程表达式为 1-pVp-0 (2-20) 此式即为1755年欧拉(Leonard Euler)导出的流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程式。 该方程式表明：在静止的流体中，当微元六面体以M点为极限时，作用在该点单位质量流体 上的质量力与静压强的合力相平衡。它对可压缩流体与不可压缩流体、相对静止与绝对静止 均适用。它是流体静力学最基本的方程式。流体静力学的其它计公式都是以方程式为
5 2 3 2 3 2 3 d 1 d 1 d 2 2! 2 3! 2 C p x p x p x p p x x x = + + + + （2-13） 忽略高阶无穷小量，则 B、C 点处的静压强分别为 d 2 B p x p p x = − （2-14） d 2 C p x p p x = + （2-15） 则得 x 轴方向流体的表面力的合力为 d d ( )d d d d d x x B C p p p A p p y z x y z x = − = − = − (2-16) 设流体的密度为ρ， f 为单位质量力, x y z f , f , f 为单位质量力分力，则流体的质量力在 x 轴上的分力为 d d d d d F m f x y zf x x x = = （2-17） 由于流体处于平衡状态，则微元体在 x 轴方向的平衡方程式 Fx = 0 （或 d d 0 F p x x + = ） 将式（2-16）、（2-17）代入可得 d d d d d d 0 x p f x y z x y z x − = （2-18） 以质量 d d d d m x y z = 除上式，得 = − = − = − 0 1 0 1 0 1 z p f y p f x p f z y x 同理可得 （2-19） 写成矢量方程表达式为 1 0 f p − = (2-20) 其中： x y z = + + i j k 为哈密顿算子。 此式即为 1755 年欧拉（Leonard Euler）导出的流体平衡微分方程式，即欧拉平衡方程式。 该方程式表明：在静止的流体中，当微元六面体以 M 点为极限时，作用在该点单位质量流体 上的质量力与静压强的合力相平衡。它对可压缩流体与不可压缩流体、相对静止与绝对静止 均适用。它是流体静力学最基本的方程式，流体静力学的其它计算公式都是以此方程式为基