GCR算法 开始的几步(续) 残向量最小值解法=2+()1p 第三步搜索方向2=b-M42=2-72b-3Mf2 B10P0-B21P p2 M(-BoPo-BP SMA-HPC C2003 MIT
GCR算法 SMA-HPC ©2003 MIT 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G k k r = b − Mx 开始的几步（续） ·第三步搜索方向 ·残向量最小值解法 (( ) ) 21 1 1 1 T x x r Mp p = + 2 2 0 0 20 2,1 2,0 r b Mx r Mr M r =− = − − γ γ ( ) 1 2,0 0 2,1 1 2 1 2,0 0 2,1 1 rpp p M rpp β β β β − − = − −
GCR算法 GCR的第k步 =-2(M)()P正交和标准化搜索方向 Pk Pk 第k步运算的最佳步长 x=x +ak pk a, Mp 更新结果和残余值 SMA-HPC C2003 MIT
GCR算法 SMA-HPC ©2003 MIT 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G k k r = b − Mx GCR的第k步 ( ) ( ) 1 0 k T k k k j j j p r Mr Mp p − = = −∑ k k k p p Mp = ( ) ( ) T k k k α = r Mp k k 1 k k xx p α + = + k k 1 k k r r Mp α + = − 正交和标准化搜索方向 第k步运算的最佳步长 更新结果和残余值
GCR算法 多项式梗概 如果在GCR中对所有j≤k的有a1≠0,那么 1)向量空间(pP…}=向量空间(,Mb…M 2)x“=5(M),是k次多项式,最小值为 3)r=b-M2=-M(M0)2=(=M45(MO)=p(0)r 这里(M)是(K+1)次多项式,如果(0)=1那 么他的最小值为 SMA-HPC C2003 MIT
如果在GCR中对所有 的有 ，那么 1） 2） 是k次多项式，最小值为 3） j k ≤ GCR算法 SMA-HPC ©2003 MIT 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G 11 2 2 ... N N x M xM x M b + ++ = GG G k k r = b − Mx 多项式梗概 0 α j ≠ { } { } 0 0 0 1 , ,..., , ,..., k k 向量空间 向量空间 p p p r Mr Mr = ( ) 1 0 , k k x Mr ξ + = k ξ 2 1 2 k r + ( ) ( ( )) ( ) 1 10 0 0 0 1 k k k kk r b Mx r M M r I M M r M r ξ ξ + + = − = − = − ≡℘ + 这里 是（k＋1）次多项式，如果 那 么他的最小值为 ( ) 0 k 1 M r ℘ + ℘k+1 (0 1 ) = 2 1 2 k r +
Kyov方法 残向量最小值 多项式梗概 如果x属于向量空间{MF…Mb最小化“: 1)x=5(M0y,5是k次多项式,最小化“ 2)=b-M=-M5(M0)2=(1-M51(MO)=9(M) 这里(M)是(k+1)次多项式,如果(0)=1 那么他可以最小化 这里多项式作为解题工具,只有一个作用。那就是 最小化残向量。 SMA-HPC C2003 MIT
如果 属于向量空间 最小化 ： 1） 是 k次多项式，最小化 2 ） 这里 是（ k ＋ 1）次多项式，如果 那么他可以最小化 这里多项式作为解题工具，只有一个作用。那就是 最小化残向量。 Krylov方法 SMA-HPC ©2003 MIT 残向量最小值 多项式梗概 k 1 x + { } 0 0 , ,..., k r Mr Mr 2 1 2 k r + ( ) 1 0 , k k x Mr ξ + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 0 0 0 1 k k k kk r b Mx r M M r I M M r M r ξ ξ + + = − = − = − ≡℘ + ( ) 0 k 1 M r ℘ + ℘ k +1 (0 1 ) = k ξ 2 1 2 k r + 2 1 2 k r +
Krylov方法 “与外界物热交换 的例子 绝缘棒和矩阵 吸热 Incoming Heat T(0)● T(1) Near End Far End Temperature Discretization Temperature 近端温度 远端温度 离散化 Nodal Equation Form 节点平衡方程 SMA-HPC C2003 MIT
吸热 Krylov 方法 SMA-HPC ©2003 MIT “与外界物热交换 的例子” 绝缘棒和矩阵 近端温度 远端温度 离散化 节点平衡方程