二、边缘分布 设F(x1,x2…x)为n元分布函数,任意保留k0sksn) 个x例如x,x2…X,而令其它的,都趋向于+∞0,即 F(X,x27Nk ● F 2 xk+1>+0 xn->+0 显然,F(x1,x2…xk,+02…,+0)是一k元分布函 数,称为F(x1,x2…x)的k元边缘分布函数。 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 二、边缘分布 设 1 2 ( , , ) F x x xn 为 n 元分布函数，任意保留 k (0 ) k n 个 , i x 例如 1 2 , , k x x x ，而令其它的 j x 都趋向于+ ，即 1 1 2 1 2 ( , , , , , ) ( , , , ) lim k n k n x x F x x x F x x x + →+ →+ + + = 显然， 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 是一 k 元分布函 数，称为 1 2 ( , , ) F x x xn 的 k 元边缘分布函数
如果F(x2x2…xn)是连续型的,即有密度函数 f(x1,x2…,x),则F(x1,x2,…xk2+,…+0)也是连续型 的,其密度函数为 2,k(12 D…丁。f(x,x2…x)k2…d 如果F(x1x2x)是离散型的,则 F(X12x2 ·· k +∞)也是离散型的,其边缘 概率分布为 P(X1=x12X2=x2,…,Xk=xk)= ∑ P(X=X,X2=x2,",Xn=xn) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 如 果 1 2 ( , , ) F x x xn 是连续型的，即有密度函数 1 2 ( , , , ) n f x x x ， 则 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 也是连续型 的，其密度函数为 1,2, , 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) k k n k k n f x x x f x x x dx dx dx + + + + − − = 如 果 1 2 ( , , ) F x x xn 是 离 散 型 的 ， 则 1 2 ( , , , , , ) F x x xk + + 也是离散型的，其边缘 概率分布为 1, , 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , ). k n k k n n x x P X x X x X x P X x X x X x + = = = = = = =
注:边缘分布函数由联合分布函数惟一确定;反之不然,即 不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。 例设有两个二元分布函数F(xy)和G(xy),密度函数分别为 f(x,)=x+y如果0≤x10≤y 0,其他 x 2y),如果0≤x≤1,0≤y≤1, 0,其他; 显然,F(x,y)和G(xy)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 注：边缘分布函数由联合分布函数惟一确定；反之不然，即 不同的分布函数可能有相同的边缘分布函数。 例 设有两个二元分布函数F(x,y)和G(x,y)，密度函数分别为 , 0 1,0 1, ( , ) 0, ; x y x y f x y + = 如果 其他 1 1 ( )( ), 0 1,0 1, ( , ) 2 2 0, ; x y x y g x y + + = 如果 其他 显然,F(x,y)和G(x,y)不恒等。但它们的边缘密度函数分别为
f(x)=f(x, y)dy=(x+)dy =x+-.0<x<1 2 8x(x)= g(x,y)dy +x)(+y)=x+=,0≤x≤l 2 所以fx(x)=gx(x)同理可知f(y)=81(y) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 1 0 1 ( ) ( , ) ( ) ,0 1; 2 X f x f x y dy x y dy x x + − = = + = + 1 0 1 1 1 ( ) ( , ) ( )( ) ,0 1; 2 2 2 X g x g x y dy x y dy x x + − = = + + = + 所以 ( ) ( ). X X f x g x = 同理可知 ( ) ( ). Y Y f y g y =