归纳与技巧:直线、平面平行的判定及性质 基础知识归纳 、直线与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线与此平 判定定理面内的一条直线平行,则 bca}→a∥a 直线与此平面平行 b∥ 2.性质定理 文字语言图形语言号语言 条直线与一个平面平 行,则过这条直线的任 性质定理 →a∥b 平面与此平面的交线 与该直线平行 平面与平面平行 1.判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 个平面内的两条担交 判定定理 直线与另一个平面平 a∥B 行,则这两个平面平行 b∥B B 2.两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两个平行平面同时 性质定理和第三个平面相交,那 么它们的交线平行
归纳与技巧：直线、平面平行的判定及性质 基础知识归纳 一、直线与平面平行 1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，则 直线与此平面平行 a⊄α b⊂α b∥a ⇒a∥α 2．性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平 行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线 与该直线平行 a∥α a⊂β α∩β＝b ⇒a∥b 二、平面与平面平行 1．判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行 a⊂α b⊂α a∩b＝P a∥β b∥β ⇒α∥ β 2．两平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交，那 么它们的交线平行 α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a∥b
基础题必做 1.(教材习题改编)下列条件中,能作为两平面平行的充分条件的是() A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析:选D由面面平行的定义可知,一平面内所有的直线都平行于另一个平面时,两 平面才能平行,故D正确. 2.已知直线a,b,平面a,则以下三个命题: ①若a∥b,bCa,则a∥(; ②若a∥b,a∥a,则b∥(; ③若a∥a,b∥a,则a∥b 其中真命题的个数是() 解析:选A对于命题①,若a∥b,bCa,则应有a∥a或aca,所以①不正确: 对于命题②,若a∥b,a∥a,则应有b∥a或bCa,因此②也不正确: 对于命题③,若a∥a,b∥a,则应有a∥b或a与b相交或a与b异面,因此③也不正 3.(教材习题改鳊)若一直线上有相异三个点A,B,C到平面a的距离相等,那么直线 与平面a的位置关系是() B.l⊥ C.与a相交且不垂直 D.∥a或lca 解析:选D由于l上有三个相异点到平面a的距离相等,则l与a可以平行,lca时 也成立 4.平面a∥平面B,aCa,b∈B,则直线a,b的位置关系是 解析:由αB可知,a,b的位置关系是平行或异面 答案:平行或异面 5.在正方体ABCD-AB1CD1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系 解析:如图
基础题必做 1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析：选 D 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两 平面才能平行，故 D 正确． 2．已知直线 a，b，平面 α，则以下三个命题： ①若 a∥b，b⊂α，则 a∥α； ②若 a∥b，a∥α，则 b∥α； ③若 a∥α，b∥α，则 a∥b. 其中真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 A 对于命题①，若 a∥b，b⊂α，则应有 a∥α 或 a⊂α，所以①不正确； 对于命题②，若 a∥b，a∥α，则应有 b∥α 或 b⊂α，因此②也不正确； 对于命题③，若 a∥α，b∥α，则应有 a∥b 或 a 与 b 相交或 a 与 b 异面，因此③也不正 确． 3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点 A，B，C 到平面 α 的距离相等，那么直线 l 与平面 α 的位置关系是( ) A．l∥α B．l⊥α C．l 与 α 相交且不垂直 D．l∥α 或 l⊂α 解析：选 D 由于 l 上有三个相异点到平面 α 的距离相等，则 l 与 α 可以平行，l⊂α 时 也成立． 4．平面 α∥平面 β，a⊂α，b⊂β，则直线 a，b 的位置关系是________． 解析：由 α∥β 可知，a，b 的位置关系是平行或异面． 答案：平行或异面 5． 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系 为________． 解析：如图．
连接AC,BD交于O点,连接OE,因为OEBD,而OEC平面ACE,BD平面ACE, 所以BD1平面ACE 答案:平行 解题方法归纳 1.平行问题的转化关系: 线∥线判定 相线∥面摆面∥面性质 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线 线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在性质定理的应用中,其顺序恰好相反, 但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化” 3.辅助线(面)是求证平行问题的关键,注意平面几何中位线,平行四边形及相似中有 关平行性质的应用 线面平行、面面平行的基本问题 1典题导入 例1]如图,正方体ABCD-AB1C1D1中,AB=2,点E为AD的中 点,点F在CD上.若EF∥平面ABC,则线段EF的长度等于 自主解答]因为直线EF平面AB1C,EFC平面ABCD,且平面 AB1Cn平面ABCD=AC,F以 EFILAC又因为点E是DA的中点,所以F是DC的中点,由 中位线定理可得EF=4C又因为在正方体ABCD-A1BCD1中,AB=2,所以AC=2E 所以EF=V 答案] 题多变 本例条件变为“E是AD中点,F,G,H,N分别是AA1,A1D1,DD1与DC1的中点, 若M在四边形EFGH及其内部运动”,则M满足什么条件时,有MN∥平面A1C1CA 解:如图, GN平面A1C1C, EG平面AA1C1C, 又GN∩EG=G
连接 AC，BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OE∥BD1，而 OE⊂平面 ACE，BD1⊄平面 ACE， 所以 BD1∥平面 ACE. 答案：平行 解题方法归纳 1.平行问题的转化关系： 线∥线 判定 判定 性质 线∥面 ――→ 判定 性质 面∥面 性质 2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线 线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反， 但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”． 3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有 关平行性质的应用． 线面平行、面面平行的基本问题 典题导入 [例 1] 如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中 点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________． [自主解答] 因为直线 EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ABCD，且平面 AB1C∩平面 ABCD＝AC，所以 EF∥AC.又因为点 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由 中位线定理可得 EF＝ 1 2 AC.又因为在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，所以 AC＝2 2. 所以 EF＝ 2. [答案] 2 本例条件变为“E 是 AD 中点，F，G，H，N 分别是 AA1，A1D1，DD1 与 D1C1 的中点， 若 M 在四边形 EFGH 及其内部运动”，则 M 满足什么条件时，有 MN∥平面 A1C1CA. 解：如图， ∵GN∥平面 AA1C1C， EG∥平面 AA1C1C， 又 GN ∩EG＝G
平面EGN平面AA1C1C 当M在线段EG上运动时,恒有MN平面AA1C1C 2解题方法归纳 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意 (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视. (2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断 (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 3以题试法 1.(1)已知直线l∥平面a,P∈a,那么过点P且平行于直线l的直线() A.只有一条,不在平面a内 B.有无数条,不一定在平面a内 C.只有一条,且在平面a内 D.有无数条,一定在平面a内 解析:选C由直线l与点P可确定一个平面B,且平面a,B有公共点,因此它们有 条公共直线,设该公共直线为m,因为l∥a,所以l∥m,故过点P且平行于直线l的直 线只有一条,且在平面a内 (2已知m,n,h,h表示直线,a,B表示平面.若mca,na,h1CB,h2cB,hnh2 M,则a∥B的一个充分条件是() A.m∥B且h∥a B.m∥B且n∥B C.m∥B且n∥h D.m∥h1且n∥l2 解析:选D由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这 两个平面平行”可得,由选项D可推知a∥B 直线与平面平行的判定与性质 1典题导入 「例2]如图,直三棱柱ABC-A′B′C’,∠BAC=90°, AB=AC=V2,M!=1,点M,N分别为AB和B'C的中 点
∴平面 EGN∥平面 AA1C1C. ∴当 M 在线段 EG 上运动时，恒有 MN∥平面 AA1C1C. 解题方法归纳 解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意： (1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确． 以题试法 1．(1) 已知直线 l∥平面 α，P∈α，那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( ) A．只有一条，不在平面 α 内 B．有无数条，不一定在平面 α 内 C．只有一条，且在平面 α 内 D．有无数条，一定在平面 α 内 解析：选 C 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β，且平面 α，β 有公共点，因此它们有 一条公共直线，设该公共直线为 m，因为 l∥α，所以 l∥m，故过点 P 且平行于直线 l 的直 线只有一条，且在平面 α 内． (2 已知 m，n，l1，l2 表示直线，α，β 表示平面．若 m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2 ＝M，则 α∥β 的一个充分条件是( ) A．m∥β 且 l1∥α B．m∥β 且 n∥β C．m∥β 且 n∥l2 D．m∥l1 且 n∥l2 解析：选 D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这 两个平面平行”可得，由选项 D 可推知 α∥β. 直线与平面平行的判定与性质 典题导入 [例 2] 如图，直三棱柱 ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°， AB＝AC＝ 2，AA′＝1，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中 点．
(1)证明:MN∥平面A′ACC; (2)求三棱锥A′-MNC的体积(锥体体积公式=3,其中S为底面面积,h为高) 自主解答](1)证明:法一:连接AB′、AC′,因为点M,N 分别是A′B和B′C′的中点, 所以点M为AB′的中点 又因为点N为B′C的中点 所以MNAC 又MN平面AACC′, AC′c平面A′ACC 因此MN平面A′ACC 法二:取A′B′的中点P连接MP 而点M,N分别为AB′与B′C的中点,所以MPHA!.B PMA′C 所以MP平面A′ACC′,PN平面A′ACC′又MP∩PN=P 因此平面MPN平面AACC′而MNC平面MPN, 因此MN平面A′ACC (2)法一:连接BN,由题意得A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′= B′C′,所以A′N⊥平面NBC 又A"N=B′C′=1, E VA-MNC=VN-A' MC=5VN-4'BC=24.NBc:I 法二:A-MC=V4-NBC-VM-MBC=VA-MBC 2解题方法归纳 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线,可先直观判断平 面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线
(1)证明：MN∥平面 A′ACC′； (2)求三棱锥 A′－MNC 的体积．(锥体体积公式 V＝ 1 3 Sh，其中 S 为底面面积，h 为高) [自主解答] (1)证明：法一：连接 AB′、AC′，因为点 M，N 分别是 A′B 和 B′C′的中点， 所以点 M 为 AB′的中点． 又因为点 N 为 B′C′的中点， 所以 MN∥AC′. 又 MN⊄平面 A′ACC′， AC′⊂平面 A′ACC′， 因此 MN∥平面 A′ACC′. 法二：取 A′B′的中点 P.连接 MP. 而点 M，N 分别为 AB′与 B′C′的中点，所以 MP∥AA′， PN∥A′C′. 所以 MP∥平面 A′ACC′，PN∥平面 A′ACC′.又 MP∩PN＝P， 因此平面 MPN∥平面 A′ACC′.而 MN⊂平面 MPN， 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)法一：连接 BN，由题意得 A′N⊥B′C′，平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′＝ B′C′，所以 A′N⊥平面 NBC. 又 A′N＝ 1 2 B′C′＝1， 故 VA′－MNC＝VN－A′MC＝ 1 2 VN－A′BC＝ 1 2 VA′－NBC＝ 1 6 . 法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝ 1 2 VA′－NBC＝ 1 6 . 解题方法归纳 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平 面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过 已知直线作一平面找其交线．