3以题试法 2.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别 是BD,BB1的中点 (1)求证:EF∥平面A1B1CD (2)求证:EF⊥AD1 解:(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D, 在平面BB1D内,E,F分别为BD,BB1的中点, EF‖!B1D 又∵B1Dc平面AB1CD EF平面A1B1CD EF平面A1B1CD (2).ABCD-A1B1C1D1是正方体 AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1 又A1DnA1B1=A1 AD1⊥平面A1B1D AD1⊥B1D 又由(1)知,EFB1D,∴EF⊥AD 平面与平面平行的判定与性质 1典题导入 「例3如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在C1上,G在B1上,且AE=FC1=B1G=1,H是C B1C1的中点 (1)求证:E,B,F,D1四点共面; (2)求证:平面A1GH∥平面BED1F 自主解答](1)在正方形AA1B1B中 AE=BIG=l BG=AIE=2
以题试法 2． 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别 是 BD，BB1 的中点． (1)求证：EF∥平面 A1B1CD； (2)求证：EF⊥AD1. 解：(1)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，连接 B1D， 在平面 BB1D 内，E，F 分别为 BD，BB1 的中点， ∴EF∥B1D. 又∵B1D⊂平面 A1B1CD. EF⊄平面 A1B1CD， ∴EF∥平面 A1B1CD. (2)∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体， ∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1. 又 A1D∩A1B1＝A1， ∴AD1⊥平面 A1B1D. ∴AD1⊥B1D. 又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1. 平面与平面平行的判定与性质 典题导入 [例 3] 如图，已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1 上，点 F 在 CC1 上，G 在 BB1 上，且 AE＝FC1＝B1G＝1，H 是 B1C1 的中点． (1)求证：E，B，F，D1 四点共面； (2)求证：平面 A1GH∥平面 BED1F. [自主解答] (1)在正方形 AA1B1B 中， ∵AE＝B1G＝1， ∴BG＝A1E＝2
BG絨A1E 四边形A1GBE是平行四边形 .AIGll BE 又CF絨B1G, 四边形C1FGB1是平行四边形 FG絨C1B1絨D1A1 四边形A1GFD是平行四边形 A1G絨D1F D1F絨EB 故E,B,F,D1四点共面 (2)H是B1C1的中点,BH= 又B1G=1.B1G_2 BIH 3 又C=3 且∠FCB=∠GB1H=90°, △B1HG∽△CBF ∠B1GH=∠CFB=∠FBG HGl FB G压面FBED1,FBC面FBED1,:GH面BED1F 由(1)知A1GBE,A1G面FBED,BEC面FBED1, A1G面BED1F 且HGnA1G=G, 平面A1GH平面BED1F 2解题方法归纳 常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理 2)面面平行的传递性(a∥B,B∥y=a∥y);
∴BG 綊 A1E. ∴四边形 A1GBE 是平行四边形． ∴A1G∥BE. 又 C1F 綊 B1G， ∴四边形 C1FGB1 是平行四边形． ∴FG 綊 C1B1 綊 D1A1. ∴四边形 A1GFD1 是平行四边形． ∴A1G 綊 D1F. ∴D1F 綊 EB. 故 E，B，F，D1 四点共面． (2)∵H 是 B1C1 的中点，∴B1H＝ 3 2 . 又 B1G＝1，∴ B1G B1H ＝ 2 3 . 又 FC BC＝ 2 3 ，且∠FCB＝∠GB1H＝90°， ∴△B1HG∽△CBF. ∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG. ∴HG∥FB. ∵GH⊄面 FBED1，FB⊂面 FBED1，∴GH∥面 BED1F. 由(1)知 A1G∥BE，A1G⊄面 FBED1，BE⊂面 FBED1， ∴A1G∥面 BED1F. 且 HG∩A1G＝G， ∴平面 A1GH∥平面 BED1F. 解题方法归纳 常用的判断面面平行的方法 (1)利用面面平行的判定定理； (2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；