2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直缄与平面平行的判定 1、直线和平面的位置关系 条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 ac a ana=A a 图形表示 注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称此直线L和平面a平行,记作L|1a。 (2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行 符号表示:ag∝、bca,a//b→a//a 222平面与平面平行的判定 1、定义:没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为:平面a、平面β,若a∩B=,则a∥B 2、判定定理 如果两个平面无公共点,|一个平面内有两条相交如果两个平面同时垂直于一条 文字描述|责成这两个平面平行直觀与另一个平面平行,直线,那么这两个平面垂直。 那么这两个平面平行 图形 a,bcB,a∩b=P ⊥a 条件 a∩B= a∥a,b∥a →B∥a →B∥a 结论 a//B a//B //B 2.2.3直线与平面平行的性质 1.性质定理:如果一条直和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直綴就和交平行 简记为:线面平行,则鐲鐲平行
1 1 2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行 （1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线 L 和平面 α 平行，记作 L ||α。 （2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行. 符号表示： a b a b a 、 , / / / / . 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为：平面 α、平面 β，若 a∩β＝∅，则 a∥β 2、判定定理： 2.2.3 直线与平面平行的性质 1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行. 判定 文字描述 如果两个平面无公共点， 责成这两个平面平行 一个平面内有两条相交 直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行． 如果两个平面同时垂直于一条 直线，那么这两个平面垂直。 图形 条件 = α,b⊂β，α∩b＝P α∥α，b∥α ⇒β∥α l⊥α l⊥β ⇒β∥α 结论 // // //
符号表示:若a//a,acB,a∩B=b,则a/b 2.2.4平面与平面平行的性质 性质 如果两个平行平面如果两个平行平面中有 如果两个平面平行,那么其 字描述 同时和第三平面相一个垂直于一条直线,那 交,那么他们的交线么另一个平面也垂直于/中一个平面内的直线平行 这条直线 于另一个平面 图形 a va ∥B ∥B ∥B 条件 βnY=b ⊥a cB any=a 结论 a∥b l⊥β a∥a 1.解题方法 明直线与平面平行的常用方法 2.利用定义,证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明; 3.利用直线和平面平行的判定定理,注意定理成立时应满足的条件; 4.利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行; 2、证明平面与平面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合 (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用两个平面垂直于同一直线 (4)证明两个平面同时平行于第三个平面 基础习题 1.设是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是() A.若∥a,I∥B,则a∥B B.若1∥a,|⊥B,则a⊥B C.若a⊥B,⊥a,则1⊥βD.若a⊥β,⊥a,则1⊥B 1.【解析】B 2.下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【解析】0 【例3】(2011江西)已知a1,a2,a3是三个相互平行的平面.平面a1,a2之间的距离为d1,平面a2,a3之 间的距离为d2·直线/与a1,a2,a3分别相交于,P2,B,那么“PP2=BP”是“d1=d2”的
2 2 符号表示：若 a a b a b / / , , , / / = 则 . 2.2.4 平面与平面平行的性质 性质 文字描述 如果两个平行平面 同时和第三平面相 交，那么他们的交线 平行 如果两个平行平面中有 一个垂直于一条直线，那 么另一个平面也垂直于 这条直线 如果两个平面平行，那么其 中一个平面内的直线平行 于另一个平面 图形 条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l⊥α α∥β a⊂β 结论 a∥b l⊥β a∥α 1. 解题方法 （1） 证明直线与平面平行的常用方法： 2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明； 3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件； 4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行； 2、证明平面与平面平行的常用方法： （1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用两个平面垂直于同一直线； （4）证明两个平面同时平行于第三个平面； 基础习题 1.设 l 是直线， ，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A.若 l∥ ,l∥β，则 ∥β B.若 l∥ ，l⊥β，则 ⊥β C.若 ⊥β,l⊥ , 则 l⊥β D.若 ⊥β, l⊥ , 则 l⊥β 1.【解析】B 2.下列命题正确的是（ ） A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 2.【解析】C 【例 3】（2011 江西）已知 1 ，2 ， 3 是三个相互平行的平面．平面 1 ，2 之间的距离为 1 d ，平面 2 ， 3 之 间的距离为 2 d ．直线 l 与 1 ，2 ， 3 分别相交于 P1 ， P2 ， P3 ，那么“ PP1 2 = PP2 3 ”是“ 1 2 d d = ”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件 G.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】0 【例4】(2011辽宁)如图,四棱锥S一ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是 A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 C 【解析】D 【例5】(2012全国)设平面a与平面B相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m 则“a⊥B”是“a⊥b”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件 【解析】A 【例6】(2012河南)1,l2,1是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是() A.4⊥2,l2⊥l3→l1∥l3 B.4⊥l2,l2∥l3→1⊥l3 l2∥l∥l3→l1,l2,l共面 l1,l2,l共点→l1,l2,1共面 【解析】B 【例7】(2012江苏)如图,在直三棱柱ABC-ABC1中,AB1=AC1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同 于点C),且AD⊥DE,F为BC1的中点 求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B; C1 (2)直线AF∥平面ADE B1 【解析】(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, ∴C1⊥平面ABC ∵ADc平面ABC AD⊥Cc1 又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BC1B1内的相交直线 D⊥平面BCC1B1 ∵ADc平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1 (2)∵△A1B101中,A1B1=A101,F为B101的中点 ∴A1F⊥B1c1 ∵C1⊥平面A1B101,A1Fc平面A1B101, A1F⊥CC1又∵B101、CG1是平面BCC1B1内的相交直线 ∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1, A1F∥AD ∵A1F平面ADE,ADC平面ADE
3 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】C 【例 4】（2011 辽宁）如图，四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形，SD ⊥ 底面 ABCD，则下列结论中不正确 ．．．的是 A．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【解析】D 【例 5】（2012 全国）设平面 与平面 相交于直线 m ，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m⊥ 则“ ⊥ ”是“ a b ⊥ ”的（ ） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 即不充分也不必要条件 【解析】A 【例 6】（2012 河南） 1 l ， 2 l ， 3 l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A． 1 2 l l ⊥ ， 2 3 l l ⊥ 1 3 l l // B． 1 2 l l ⊥ ， 2 3 l l // 1 3 l l ⊥ C． 2 3 3 l l l // // 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 D． 1 l ， 2 l ， 3 l 共点 1 l ， 2 l ， 3 l 共面 【解析】B 【例 7】（2012 江苏）如图，在直三棱柱 ABC A B C − 1 1 1 中， A B A C 1 1 1 1 = ，D E， 分别是棱 BC CC ， 1 上的点（点 D 不同 于点 C），且 AD DE F ⊥ ， 为 BC1 1 的中点． 求证：（1）平面 ADE ⊥ 平面 BCC B1 1 ； A1 C1 （2）直线 1 AF // 平面 ADE． B1 【解析】（1）∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱， ∴CC1⊥平面 ABC， ∵AD⊂平面 ABC， ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE，DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1， ∵AD⊂平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1； （2）∵△A1B1C1 中，A1B1=A1C1，F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1， ∵CC1⊥平面 A1B1C1，A1F⊂平面 A1B1C1， ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1， ∴A1F∥AD ∵A1F⊄平面 ADE，AD⊂平面 ADE， F D A C B E
直线A1F∥平面ADE 【例8】(2012浙江)如图,在四棱锥P一ABCD中,底面是边长为2√3的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD PA=2√6,M,N分别为PB,PD的中点 ()证明:MN∥平面ABCD; (Ⅲ)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角AMNQ的平面角的余弦值 【解析】()如图连接BD. M,N分别为PB,PD的中点, ∴在ΔPBD中,MN∥BD 又MN￠平面ABCD, ∴MN∥平面ABCD; (m)√0 【例9】(2012北京)如图1,在R△ABC中,∠C=90°,D,E分别为 AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ΔADE沿DE折起到 △ADE的位置,使AF⊥CD,如图2。 (1)求证:DE∥平面ACB ()求证:AF⊥BE (Ⅲ)线段AB上是否存在点Q,使AC⊥平面DEQ?说明理由。 【解析】解:(1)∵D,E分别为AC,AB的中点 ∴DE∥BC,又DE4平面A1CB DE∥平面ACB (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥平面ADC,而AFc平面ADC ∴DE⊥AF, AF⊥CD ∴AF⊥平面BCDE, ∴A1F⊥BE. (3)线段AB上存在点Q,使AC⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A,AB的中点P,Q,则PQ∥BC ∵DE∥BC, ∴DE∥PQ ∴平面DEQ即为平面DEP.由()知DE⊥平面AD, ∴DE⊥A1C 又∵P是等腰三角形DAC底边AC的中点, ∴AC⊥DP, ∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ
4 4 ∴直线 A1F∥平面 ADE． 【例 8】（2012 浙江）如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面是边长为 2 3 的菱形，且∠BAD＝120°，且 PA⊥平面 ABCD， PA＝ 2 6 ，M，N 分别为 PB，PD 的中点． (Ⅰ)证明：MN∥平面 ABCD； (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC，垂足为点 Q，求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值． 【解析】（Ⅰ）如图连接 BD． ∵M，N 分别为 PB，PD 的中点， ∴在 PBD 中，MN∥BD． 又 MN 平面 ABCD， ∴MN∥平面 ABCD； (Ⅱ) 10 5 ． 【例 9】（2012 北京）如图 1，在 Rt ABC 中， = C 90 ， D E, 分别为 AC AB , 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将 ADE 沿 DE 折起到 A DE 1 的位置，使 A F CD 1 ⊥ ，如图 2。 （Ⅰ）求证： DE // 平面 ACB 1 ； （Ⅱ）求证： A F BE 1 ⊥ ； （Ⅲ）线段 AB1 上是否存在点 Q ，使 AC1 ⊥ 平面 DEQ ？说明理由。 【解析】解：（1）∵D，E 分别为 AC，AB 的中点， ∴DE∥BC，又 DE⊄平面 A1CB， ∴DE∥平面 A1CB， （2）由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC， ∴DE⊥AC， ∴DE⊥A1D，又 DE⊥CD， ∴DE⊥平面 A1DC，而 A1F⊂平面 A1DC， ∴DE⊥A1F，又 A1F⊥CD， ∴A1F⊥平面 BCDE， ∴A1F⊥BE． （3）线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ．理由如下：如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQ∥BC． ∵DE∥BC， ∴DE∥PQ． ∴平面 DEQ 即为平面 DEP．由（Ⅱ）知 DE⊥平面 A1DC， ∴DE⊥A1C， 又∵P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， ∴A1C⊥DP， ∴A1C⊥平面 DEP，从而 A1C⊥平面 DEQ， 图1 图2 F E B D E C B C D A1 A F
故线段AB上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ 【例10】(2013四川)如图,在三棱柱ABC一AB1C中,侧棱AA⊥底面ABC,AB=AG=2A,∠BAC=120°,D,D 分别是线段BC,B,G的中点,P是线段AD的中点 (1)在平面ABC内,试作出过点P与平面ABC平行的直线1,说明理由,并证明直线丨⊥平面ADDA; (2)设(1)中的直线交AB于点M,交AC于点N,求二面角A一AM-N的余弦值 【解析】 (1)过点P作直线∥BC,因为|在平面ABC外,BC在平面ABC内, 由直线与平面平行的判定定理可知,1∥平面ABC (2)二面角A一AM一N的余弦值为 【例11】(2012河南)如图,在直三棱柱ABC一ABC1中,∠BAC=90°,AB=AC=A1=1,延长AC至点P,使CP=ACG1, 连接AP交棱CC1于D. ()求证:PB1∥平面BDA ()求二面角A一AD-B的平面角的余弦值 【解析】二面角A一AD一B的平面角的余弦值为二 【例12】(2012辽宁)如图,直三棱柱ABC-ABC,∠BAC=90 AB=AC=LAH,点M,N分别为AB和BC的中点 (1)证明:MN∥平面AAC )若二面角A-MN-C为直二面角,求元的值 【解析】(1)连结AB′,AC′,由已知∠BAC=90° AB=AG,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′中点 又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC 又MN平面A′ACC′,AC′C平面A′AcG′, 因此MN∥平面A′AGC (2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,A′为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系0xyz,C 设A′=1,则AB=AC=入,于是A(O,0,0),B(A,0,0),C(0,A,0),A′0,0,1),B′(λ,0,1),40小,1 B 以 设=(x1,y1,z)是平面A′MN的法向量,可取=(1,-1,λ) Dy 设=(x,y,z)是平面MNG的法向量,可取=(-3,-1,λ) 为A′-MN-G为直二面角,所以-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ 【课堂练习】 1、(2006陕西)已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是() A.平面ABC必平行于a B.平面ABC必与α相交 C.平面AB必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于a或在a内 2、(2013新课标)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线满足⊥m,⊥n,l￠α,lβ,则
5 5 故线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ 【例 10】(2013 四川)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1 分别是线段 BC，B1C1 的中点，P 是线段 AD 的中点． （1）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l⊥平面 ADD1A1； （2）设（1）中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 A－A1M－N 的余弦值． 【解析】 （1）过点 P 作直线 l∥BC，因为 l 在平面 A1BC 外，BC 在平面 A1BC 内， 由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面 A1BC. （2）二面角 A－A1M－N 的余弦值为 15 5 . 【例 11】（2012 河南）如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长 A1C1 至点 P，使 C1P＝A1C1， 连接 AP 交棱 CC1 于 D． （Ⅰ）求证：PB1∥平面 BDA1； （Ⅱ）求二面角 A－A1D－B 的平面角的余弦值. 【解析】二面角 A－A1D－B 的平面角的余弦值为 2 3 ． 【 例 12】（ 2012 辽 宁 ）如 图， 直 三棱 柱 / / / ABC A B C − ， = BAC 90 ， / AB AC AA = = , 点 M，N 分别为 / AB 和 / / BC 的中点. (Ⅰ)证明： MN ∥平面 / / A ACC ; (Ⅱ)若二面角 / A MN C − − 为直二面角，求 的值. 【解析】(1)连结 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°, AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱，所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点，所以 MN∥AC′. 又 MN⊄平面 A′ACC′，AC′⊂平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz, 设 AA′=1,则 AB=AC=λ, 于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1). 所以 M λ 2 ，0， 1 2 ,N λ 2 ， λ 2 ，1 . 设=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量，可取=(1,-1,λ). 设=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量，可取=(-3,-1,λ). 因为 A′-MN-C 为直二面角，所以-3+(-1)×(-1)+λ2 =0，解得 λ= 2. 【课堂练习】 1、（2006 陕西）已知平面α外不共线的三点 A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于α B.平面 ABC 必与α相交 C.平面 ABC 必不垂直于α D.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 2、（2013 新课标）已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l α，l β，则