Euler公式 1958 ■稳定性：误差在以后各步的计算中不会无限制扩大 下面考虑简单情况：仅初值有误差，而其他计算步骤 无误差 ■设{z,}是初值有误差后的计算值，则 yi=y,+hf(xy) 2+1=二，+hf(x,2) →le=y1-2+≤e+hf(x,y)-f(x,) ≤le+hLy-=le,l1+hL) ≤.≤ell+hL)≤ee≤Cle 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始 误差充分小，以后各步的误差也充分小、 12
Euler公式 稳定性：误差在以后各步的计算中不会无限制扩大 下面考虑简单情况：仅初值有误差，而其他计算步骤 无误差 设 是初值有误差后的计算值，则 可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始 误差充分小，以后各步的误差也充分小 12 { }i z 1 1 1 11 1 ( 1) 0 00 (, ) (,) (, ) (,) (1 ) (1 ) i i ii i i ii i i i i i i ii i ii i i i hL y y hf x y z z hf x z e y z e hf x y f x z e hL y z e hL e hL e e C e + + + ++ + + = + = + ⇒ ≡ − ≤+ − ≤ + −= + ≤≤ + ≤ ≤
Euler.公式 ■ 向后差商公式 =y(+2学5) h x)-0)=fx(x》+2"5) )=x)+hx=》+2y"(5) →y41=y+hf(x+1,y） ·隐式格式，需要迭代求解 13
Euler公式 向后差商公式 隐式格式，需要迭代求解 13 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) () '( ) ''( ) 2 ( ) () ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 (, ) i i i i i i ii i i i ii i i i ii yx yx h yx y h yx yx h f x yx y h h y x y x h fx y x y y y hf x y ξ ξ ξ + + + + + + + + + + + − = + − = + =+ + ⇒ =+
Euler.公式 ■Picard送代格式： y=y+hf(xy) =y+hf(). k=0,1,2,. ■记y)=y+hf(x1y),则当h充分小时， Ip(y)h时，(x,y)KhL<1 从而送代收敛 14
Euler公式 Picard迭代格式： 记 ，则当 充分小时， 从而迭代收敛 14 (0) 1 ( 1) ( ) 1 1 1 ( , ), 0,1,2, ( , ), i i ii k k i i ii y y hf x y k y y hf x y + + + + + = + = = + 1 () ( ,) i i φ y y hf x y = + + ' | ( )| | ( , )| 1 y i φ y hf x y hL = ≤< h
Euler.公式 中心差商公式 D-yx)+3) h2 2h =5r》 2h →y+=y+2hf(x,y) ■多步格式，二阶格式，数值不稳定 15
Euler公式 中心差商公式 多步格式，二阶格式，数值不稳定 15 2 1 1 2 1 1 1 1 () () '( ) ''( ) 2 3! () () ( , ( )) ''( ) 2 3! 2 (, ) i i i i i i i i i i i i i yx yx h yx y h yx yx h f x yx y h y y hf x y ξ ξ + − + − + − − = + − = + ⇒=+