微分方程数值解 ■主要问题： ·如何对定义域进行离散？ ·如何对微分方程进行离散？ ●收敛性问题，即步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解 ●误差估计 ●稳定性问题，即舍入误差在以后各步的计算中，是否会无限制扩大 ·计算效率 ●并行计算 ● 7
微分方程数值解 主要问题： 如何对定义域进行离散? 如何对微分方程进行离散？ 收敛性问题，即步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解 误差估计 稳定性问题，即舍入误差在以后各步的计算中，是否会无限制扩大 计算效率 并行计算 . 7
Euler公式 9》 ■ 对定义城[a,b]作等距剖分，即 a+h=2i=01m m ■向前差商公式 -）=y6x)+35) h y y'=f6,以， h v(b) y(a)=a x62. h2 W2 x)=)+h,(x》+2y"(5) →y+1=y,+hf(x,y,) 10=a IN=6 8
Euler公式 对定义域 作等距剖分，即 向前差商公式 8 [,] a b : , , 0,1, , I i b a x a hi h i m m− ∆ =+ = = 11 2 1 1 ( ) () '( ) ''( ) 2 ( ) () ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 (, ) i i i i i i ii i i i ii i i i ii yx yx h yx y h yx yx h f x yx y h h y x y x h fx y x y y y hf x y ξ ξ ξ +++ + − = + − = + =+ + ⇒ =+
Euler.公式 定义：在假设第i步计算是精确的前提下，考虑载断误 差T1=y(x+)-y41,称T+1为局部载断误差。若T41=O(hP) ,则称方法是卫阶相容的，简称相容 ■ 向前差商公式的局部载断误差： T+=y(x+1)-y h2 =x)+h,x》+2"(5)- =(x)+f(,x》+2y"(5)-y-f(x,》 h2 () =O(h2) 9
Euler公式 定义：在假设第 步计算是精确的前提下，考虑截断误 差 ，称 为局部截断误差。若 ，则称方法是 阶相容的，简称相容 向前差商公式的局部截断误差： 9 i 1 11 ( ) T yx y i ii + ++ = − Ti+1 1 11 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( , ( )) ''( ) 2 ( ) ( , ( )) ''( ) ( , )) 2 ''( ) 2 ( ) i ii i ii i i i i i i i ii i T yx y h y x h fx y x y y h y x hf x y x y y hf x y h y O h ξ ξ ξ + ++ + = − =+ + − = + + −− = = 1 1 ( ) p T Oh i + + = p
Euler公式 整体载断误差和收敛性：考虑局部载断误差的积累和 传播 e=y(x)-y +区x+空P)-g-n ≤(x,)-y+hf(x,y(x》-f(x,y,+T ≤e+hLy(x)-y+T s(1+hL)e,+T,T=max T, ≤(1+hL)(1+hL)e-+T）+T =(1+hL)le-+(1+hL)+1)T ≤(1+hL)}2(1+hL)le,-2+T）+(1+hL)+1)7 =(1+hL)3e-2+(+hL)2+(1+hL)+1)T 10
Euler公式 整体截断误差和收敛性：考虑局部截断误差的积累和 传播 10 ( ) 1 11 2 1 1 1 ( ) | ( ) ( , ( )) ''( ) ( , )) | 2 ( ) ( , ( )) ( , ) () (1 ) , max (1 ) (1 ) (1 i ii i i i i i ii i i i i ii i i i ii i j j i e yx y h y x hf x y x y y hf x y yx y hf x yx f x y T e hL y x y T hL e T T T hL hL e T T ξ + ++ + + − = − = + + −− ≤ −+ − + ≤+ −+ ≤+ + = ≤+ + + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 2 2 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 i i i hL e hL T hL hL e T hL T hL e hL hL T − − − ++ + ≤+ + + + + + =+ + + ++ +
Euler公式 整体载断误差和收敛性： ≤. ≤(1+hL)e+(1+hL)'+.+(1+hL)+1)T =+hLy产++Ly”7 1-(1+hL) ≤1+hLg,+0+L)严"T hL s+r(+ 是1阶方法 ≤em (s+ase(+a) ◆ 查c0财，T=o)ec(c+)0,即Euler公式 是收敛的 11
Euler公式 整体截断误差和收敛性： 当 时， ，即Euler公式 是收敛的 11 ( ) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 ( 1) ( ) 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) i i i i i i i i hL b a L hL e hL hL T hL hL e T hL hL hL e T hL T hL e hL T T ee ee hL hL + + + + + + + − ≤ ≤+ + + + ++ + − + =+ + − + + ≤+ + ≤+ + ≤ +≤ + 0 e h = → 0, 0 2 () 0 ( ) 0 baL T T Oh e e hL − = ⇒ +→ 是1阶方法