2.应用: (1)已知在某区域中有定义的解析函数,用解析延拓的方法扩大 其定义域和解析范围。 (2)已知数学问题的解是某区域D内(除个别奇点外)的解析函 数,利用解析延拓的方法,可以从这个函数表达式推算出解 在D的其他子区域中的表达式
2. 应用： (1) 已知在某区域中有定义的解析函数，用解析延拓的方法扩大 其定义域和解析范围。 (2) 已知数学问题的解是某区域 D 内（除个别奇点外）的解析函 数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表达式推算出解 在 D 的其他子区域中的表达式
解析延拓的幂级数方法 设给定解析元素{D,(2)},现采用幂级数方法将()解析延拓。 在D内任取一点b,将∫)在b的邻域展开成泰勒级数 1(2-y 设级数的收敛区域为D2。如果D超出了D的范围。由于在D和D2 的重叠区域f(z)=f2(),所以航是()在D中的解析延拓 这样不断作下去,得到一系列的解析{Dnf(-)}(m=2,3)。 个解析元素{∫(-的全部解析延拓的集合,称为f()所产生的完 全解析函数F(),F()的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。 f(-)z∈D F()={f()z∈D2
三、解析延拓的幂级数方法 设给定解析元素{ } 1 1 Dfz , () ，现采用幂级数方法将 1f z( ) 解析延拓。 1. 在 D1内任取一点 ，将 1f z( ) 在 的邻域展开成泰勒级数 ( ) 1 1 2 1 0 ( ) () ( ) ! k k k f b fz zb k ∞ = = − ∑ 设级数的收敛区域为 。如果 超出了 的范围。由于在 和 的重叠区域 1 2 fz f z () () = ，所以 就是 在 中的解析延拓。 这样不断作下去，得到一系列的解析{ } , () Dfz n n ( 2,3...) n = 。 一个解析元素{ } 1 1 Dfz , () 的全部解析延拓的集合，称为 1f z( ) 所产生的完 全解析函数 F(z )，F(z )的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。 1 1 2 2 ( ) () () ... ... fz z D Fz f z z D ⎧ ∈ ⎪ = ∈ ⎨ ⎪ ⎩ D2 b1 b1 D2 D1 D1 D2 ( ) 2f z ( ) 1f z D2
四、『函数的解析延拓 (思考:解析延拓的方法) 1实变函数中「函数的定义 (x>0) 说明:(1)∏(x)是含参数(此处为t)的定积分,是解析函数的 种重要表达式,这种表达式特别适于求函数的渐近表 示,或作解析延拓; (2))右边的积分收敛条件是x>0,因此(1)式只定义 了x>0的「函数
四、 Γ函数的解析延拓 （思考：解析延拓的方法） 1.实变函数中 Γ 函数的定义 1 0 ( ) x t x t e dt ∞ − − Γ = ∫ ( 0) x > (1) 说明：(1) Γ( )x 是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函数的一 种重要表达式，这种表达式特别适于求函数的渐近表 示，或作解析延拓； (2) (1)式右边的积分收敛条件是 x > 0 ，因此(1)式只定义 了 x > 0 的 Γ 函数