09.1二元运算及其性质 豪 口左幺元(右幺元):设*是A上的二元运算 如果存在元素e(或e)∈A,使得对一切 x∈A,均有 e*x=x(或x*er=x) 则称e1(e)是A中关于运算*的一个左幺元( 右幺元) 令若元素e既是左幺元,又是右幺元,则称e是A中 关于*的一个幺元(e可记为1,称单位元) 16
16 9.1 二元运算及其性质 ❑左幺元（右幺元）：设*是A上的二元运算， 如果存在元素eL（或er）A，使得对一切 xA，均有 eL * x=x（或x * er =x） 则称eL（er）是A中关于运算*的一个左幺元（ 右幺元） ❖若元素e既是左幺元，又是右幺元，则称e是A中 关于*的一个幺元（e也可记为1，称单位元）
09.1二元运算及其性质 豪 口例 令实数集上加法运算,0是幺元 乘法运算,1是幺元 ◇幂集P(A)上的运算,必是幺元; ∩运算,A是幺元 口例:实数集R上定义运算∨ab∈R,a*b=a 则不存在左幺元,使得vb∈R,e*b=b,而对 一切a∈R,Vb∈R,有b*a=b, 该代数系统不存在左幺元。 但是R中的每一个元素a都是右幺元 17
17 9.1 二元运算及其性质 ❑例： ❖实数集上加法运算，0是幺元； 乘法运算，1是幺元 ❖幂集P（A）上的运算，是幺元； 运算，A是幺元 ❑例：实数集R上定义运算a,bR，a*b=a， 则不存在左幺元，使得bR，eL*b=b，而对 一切aR，bR，有b*a=b， 该代数系统不存在左幺元。 但是R中的每一个元素a都是右幺元
09.1二元运算及其性质 口定理:若e和e1分别是S上对于*的左幺元和右幺 元那么e1=er,且这个元素就是幺元 证明:e1=e1*er=er 口推论:一个二元运算的幺元是唯一的 证明:设e=e=er假设e是S中的单位元,则 e=e*e〓e 18
18 9.1 二元运算及其性质 ❑定理：若el和er分别是S上对于*的左幺元和右幺 元,那么el=er，且这个元素就是幺元 证明： el=el *er=er ❑推论：一个二元运算的幺元是唯一的 证明：设e=el=er . 假设e’是S中的单位元，则 e’=e *e’=e