《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第九节 重积分变量变换公式的证明

*S9 重积分变量变换公式的证明本节将给出在x=x(u,v),=y(u,v) 具有一阶连续偏导数的条件下，重积分变量变换公式（定理21.13的一般证明。前页后页返回

前页 后页 返回 本节将给出在 具有 一阶连续偏导数的条件下, 重积分变量 变换公式(定理21.13)的一般证明. x x u v y y u v = = ( , ), ( , )  §9 重积分变量变换公式的证明 返回

证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理引理设变换T :x, =p,(xi,x,) (i=1,2)将xx,平面上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域D'一对一地变换成x,x,平面上的闭域 D.又设 ;(xi,x,)(i=1,2)在 D'上具有一阶连续偏导数,并且J(x,x,')=((g,9)+0, (xi,x,) e D'a(xi,x,)若 △'为 D'内边长为 h 的任一正方形，△=T(△)后页返回前页

前页 后页 返回 ( 1,2) i = 在 D 上具有一阶连续偏导数,并且 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 0, ( , ) . ( , ) J x x x x D x x        =       若  为 D 内边长为 h 的任一正方形，   =T( ),  证明重积分变量变换公式的的关键是下面的引理. 引理 设变换 1 2 : ( , ) ( 1,2) T x x x i i i = =    将   1 2 x x 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的有界闭域 D 一对一 地变换成 1 2 x x 平面上的闭域 D . 又设 1 2 ( , ) i  x x  

那么成立关系式μ(△) =I J(x’,x,) I μ(△) +O(h’o(h))(1)(I O(h’w(h) < C / h w(h) D),其中(x,x,)为△'的某一顶点,C为与 h及 △在D'中的位置无关的常数，μ(△)与μ()分别表示区域△与 △'的面积o(h) = sup ,(h),i,j-1,2a~,9,(xi,x,)在 D'上的连续模,即の,(h) 是ox j后页返回前页

前页 后页 返回 那么成立关系式 2 1 2    ( ) | ( , ) | ( ) ( ( ))   J x x O h h   = +  2 2 (| ( ( )) | | ( ) |), (1) O h h C h h    的位置无关的常数， ( )  与 ( )  分别表示区域  与  的面积, = = , 1,2 ( ) sup ( ), ij i j   h h ( ) ij h 是      1 2 ( , ) i j x x x  在 D 上的连续模, 即 其中   1 2 ( , ) x x 为  的某一顶点,C 为与 h及  在 D 中

aW;(h) = supDaxji这里上确界是对所有(xi,x,),(x",xz")e D'满足条件 /(x, -x") +(x’ -x")<h 而取的.证不妨设正方形△'=[,’+]x[,,,+h],四个顶点: P'(x",x,), A'(x + h,x, ), C(x, + h,x, +h)与 A,(x,x,’ +h) (图21-44). 于是 △=T(△) 是 D内的曲边四边形 PA,CA2(图21-45),且是一个闭域后页返回前页

前页 后页 返回 1 2 1 2 ( ) sup ( , ) ( , ) , ij i i j j h x x x x x x          = −               这里上确界是对所有 1 2 1 2 ( , ),( , ) x x x x D       满足条 顶点: 1 2 P x x ( , ),    1 1 2 A x h x ( , ),    + 1 2 C x h x h ( , )    + + 2 2 1 1 2 2 件 ( ) ( ) x x x x h     − + −  而取的. 证 不妨设正方形      = +  + 1 1 2 2  [ , ] [ , ], x x h x x h 四个 2 1 2 与 A x x h ( , )    + (图21-44). 于是   =T( ) 是 D 内的曲边四边形 (图21-45), 且是一个闭域, PA CA 1 2

其中(P,A,C,A)=T(P',A',C',A,),△'的边界 T则映为△ 的边界.设点 P的坐标为(xi,x,)x2↑X2A21hCA2CAA'PCA0Ax'文0图 21-45图21-44对△内任一点Q(x,x,),记 Q(x,x)=T(Q). 由于P;(xi,x,)(i=1,2)在 D'上连续可微,故由多元函数后页返回前页

前页 后页 返回 1 x  A1  图 21 44 −  C P O 2 x  A2  对  内任一点 Q x x ( , ), 1 2   记 Q x x T Q ( , ) ( ). 1 2 =  由于 1 x 图 21 45 − C P O 2 x A2  A1 A1  C  A2  其中  1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ), P A C A T P A C A   =    的边界 则映为 的边界 . 设点 P 的坐标为 1 2  ( , ). x x i ( , ) ( 1,2) x x i 1 2   = 在 D 上连续可微, 故由多元函数