《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第九章 定积分 §4 定积分性质

从而E( f(5)± g(5,)1Ax, -(J, ± J,)i=1E(5,)Ax,-J, +Eg(5,)Ax,-,≤i=1i=1888.三22因此，f土g在「a,bl上可积,且['(f(x)± g(x)dx=I' f(x)dx+ f, g(x)dx.后页返回前页

前页 后页 返回 从而 1 2 1 [ ( ) ( ) ]Δ ( ) n i i i i f g x J J   =   −  1 2 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x J g x J   = =  − + −   . 2 2    + =  因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x  =    

性质3若f,g在[a,b]上可积，则fg在[a,b]上也可积。证 因 f,g在[a,b]上可积,故在[a,b]上都有界,即 M >0, Vxe[a,bl, f(x)/≤M, g(x)/≤M8V>0,存在分割T,使Ax又存在分2MT8割T"，使之wAx2MT"后页返回前页

前页 后页 返回 性质3 若 f g a b f g a b , [ , ] [ , ] 在 上可积，则 在 上 证 因 在 上可积，故在 上都有界, f g a b a b , [ , ] [ , ] 即       M x a b f x M g x M 0, [ , ], ( ) , ( ) . 0, , Δ ; 2 f i i T T x M    存在分割 使 又存在分       Δ . 2 g i i T T x M  割 ，使      也可积

令T=T'+T"（T表示把T'与T"的所有分割点合并而成的新分割，则fs = sup / /f(x)g(x)- f(x")g(x") / /x',x"eA,≤sup (I g(x)llf(x)- f(x)+/f(x")llg(x)-g(x")// x,x" eA,)≤Mo! + Mo后页返回前页

前页 后页 返回 令T = T + T ( T T T 表示把   与 的所有分割点合 并而成的新分割 ), 则 sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,  Δ  fg i i  = −  f x g x f x g x x x        − sup ( ) ( ) ( )  g x f x f x    + −  f x g x g x x x ( ) ( ) ( ) ,      Δi . g i f  Mi + M

于是EoAr, <mEo, Ar, + mEo'Ar,TTT≤MEo,Ar, +MEw'ArT'Tn88MM<+8.二2M2M因此fg在[a,bl上可积返回前页后页

前页 后页 返回 于是    +  T i g i T i f i T i fg i x M  x M  x       +  T i g i T i f M i x M  x . 2 2     + = M M M M 因此 f g 在 [ a, b] 上可积

性质4 f 在[a,b]上可积的充要条件是:Vce(a, b),f在[a,cl与[c,bl上都可积.此时且有, f(x)dx = f. f(x)dx+ " f(x)dx证（充分性）若f 在[a,c] 与[c, b] 上可积,则V>0,[a,c]与[c,bl上分割T'与T",使得后页返回前页

前页 后页 返回 f a c c b 在 与 上都可积. 此时且有 [ , ] [ , ] ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = +        0, [ , ] [ , ] , a c c b T T 与 上分割 与 使得   性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b), 证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则