Jacobi送代 ■Jacobis送代格式： x上(a,++ax,-h) 飞上(ax图+a0++a-）) x,1 (anx+.+ann-x-b) i=l i=i+] 7
Jacobi迭代 Jacobi迭代格式： 7 ( 1) ( ) ( ) 1 12 2 1 1 11 ( 1) () () ( ) 2 21 1 23 3 1 2 22 ( 1) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) k kk n n k kk k n n kk k n n nn n n nn x ax ax b a x ax ax ax b a x ax a x b a + + + − − − = ++ − − = + ++ − − = ++ − ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( 1) ( ) i n j i k ij j i j k ij j ii k i a x a x b a x + − − = ∑ ∑= + − = +
Jacobi送代 ■Jacobi:送代矩阵： 0 -12 (1) 11 a11 x(k) 0 a22 a22 D= 02 : x -an2 b。 ann Ax=b台(D-(D-A)x=b 台Dx=(D-A)x+b 台X=D(D-A)x+Db →M=D(D-A)=I-DA,g=Db 8
Jacobi迭代 Jacobi迭代矩阵： 8 12 1 1 ( 1) 11 11 ( ) 11 1 1 11 ( 1) 21 2 ( ) 2 2 2 22 22 22 22 ( 1) ( ) 1 2 0 0 , 0 n k k k k n k k n n nn n n n nn nn nn aa b aa a x x a a ab x x a a aa x x a a a b a a a + + + − − − − = + = − − D 1 1 1 11 ( ( )) () () ( ) , − − − −− =⇔ − − = ⇔ =− + ⇔= − + ⇒ = − =− = Ax b D D A x b Dx D A x b x D D Ax D b M D D A I DA g Db
Jacobis迭代 ■Jacobi.迭代收敛条件的充分必要条件： p(M)<1 定理：若线性方程组Ax=b的系数矩阵A满足下列条件 之一： (1)A为严格行对角占优阵，即la>∑lai=1,2,n (2)A为严格列对角占优阵，即小>∑0，j=l,2,m 则Jacobi送代收敛 通常，对角元越占优，收敛速度就越快；但也有反例 ,如 9
Jacobi迭代 Jacobi迭代收敛条件的充分必要条件： 定理：若线性方程组 的系数矩阵 满足下列条件 之一： （1） 为严格行对角占优阵，即 （2） 为严格列对角占优阵，即 则Jacobi迭代收敛 通常，对角元越占优，收敛速度就越快；但也有反例 ，如： 9 ρ()1 M < Ax b = A A , 1,2, , . ii ij j i a ai n ≠ > = ∑ A , 1,2, , . jj ij i j a aj n ≠ > = ∑ 1 1 1/2 1/2 1 − = − A 2 1 3/4 1/12 1 − = − A