元例2证明limarctanx2X-→+元取 M = tan(证 任给 6>0(8<-),≥-6)2O因为arctanx严格增，当x>M时，元元f(x)arctanx22<1-(F-6)=6.元这就是说lim arctan x :2x→+返回前页后页
前页 后页 返回 例2 . 2 lim arctan = →+ x x 证明 证 任给 ), 2 0 ( ). 2 tan( 取 M = − 这就是说 π lim arctan . x 2 x →+ = 因为 arctan x 严格增，当 x M 时， π π ( ) arctan 2 2 f x x − = − π π ( ) . 2 2 − − =
定义2设 f(x)定义在(-80,bl上,A是一个常数若对于任意ε>0,存在 M >0, 当x<-M(<b)时f(x)-A<8,则称f(x)当x→-o 时以A为极限，记为lim f(x)=A 或 f(x)→A (x→-0).X返回前页后页
前页 后页 返回 f (x) − A , 定义2 设 f (x)定义在(− ,b上, A是一个常数. 若对于任意 0 , 存在 M 0, 当 x M b − ( )时 则称 f (x)当 x → − 时以 A为极限, 记为 f x A x = → − lim ( ) 或 f (x) → A (x → −)
定义3 设 f(x)定义在o的某个邻域 U(o)内，A为一个常数若对于任意ε>0,存在M>0，当x|>M时f(x)-A <8,则称f(x)当x→8时以A为极限，记为lim f(x)= A 或 f(x)→ A (x→o0),x8后页返回前页
前页 后页 返回 则称 f (x)当 x → 时以 A 为极限， 记为 f (x) − A , 定义3 设 f (x)定义在的某个邻域 U()内, A 为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0， 当 x M 时 f x A x = → lim ( ) 或 f (x) → A (x → )
定理 3.1 f(x)定义在 ∞o 的一个邻域内,则limf(x)=A的充要条件是：x-→8lim f(x)= lim f(x)= A.X→-8x→+80元元lim arctanx:lim arctanx =例如-22x-→+00X→-80则由定理3.1，limarctanx不存在x→00返回前页后页
前页 后页 返回 lim f (x) lim f (x) A. x x = = → − → + 定理 3.1 f (x)定义在 的一个邻域内，则 x x limarctan 则由定理 → 3.1， 不存在. f x A x = → lim ( ) 的充要条件是： π π lim arctan , lim arctan , x x 2 2 x x → − →+ 例如 = − =