东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第08章 哈密顿理论在物理学中的应用

§83薛定谔波动力学方程的建立 采用经典力学的哈密顿理论,加上电子具有波粒 二象性的假设,以氢原子为例,建立定态波动力学方 程。氢原子哈密顿函数为 H=(p3+p3+p2)/2m-e2/r 哈密顿-雅可比方程: 1W aw oW 2 十 十 =E(1) 2m ax dy az x +y +Z 薛定谔对函数作了一个变换:W=hgy aN=hoy,a=hay,cw=hy,代入(试得: ax ax ay y dy az y az 0\+0 Ov 2m 2 0 X+y +Z

采用经典力学的哈密顿理论，加上电子具有波粒 二象性的假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方 程。氢原子哈密顿函数为 0 x y z e E 2m x y z , (1) : z z W y y W x x W : W lg E (1) x y z e z W y W x W 2m 1 : H (p p p )/ 2m e / r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z 2 y 2 x                                                                                                        ， ， 代入 式得 薛定谔对函数作了一个 变换 哈密顿 雅可比方程

把电子看作"物质波,假设一个适当的拉格朗日密度, 用最小作用量原理来导出电子的波动力学方程。 薛定谔的具体做法是,取 dJ=8F(x, y, z)dxdydz=0 两种理解: 、把(1)式看作是莫培督最小作用量原理,它是 和时间无关,F(x,y,z)就是莫培督作用函数。 2、把(1)式看作是哈密顿原理变形而来。 8S=8Ldt=0→8Ldt=0→8L=0 即8L=8∫(x, zdxdydz=0,这就是()式。 作这样的理解,(1)式中的函数F(x,y,z)就是电子 的拉格朗日密度

的拉格朗日密度。 作这样的理解， 式中的函数 就是电子 即 ，这就是 式。 、把 式看作是哈密顿原理变 形而来。 和时间无关， 就是莫培督作用函数。 、把 式看作是莫培督最小作 用量原理，它是 两种理解 （ ） 薛定谔的具体做法是， 取 用最小作用量原理来导 出电子的波动力学方程 。 把电子看作 物质波 假设一个适当的拉格朗 日密度 (1) F(x, y, z) L (x, y, z)dxdydz 0 (1) S Ldt 0 Ldt 0 L 0 2 (1) F(x, y, z) 1 (1) : dJ F(x, y, z)dxdydz 0 1 " " , , 2 1 2 1 t t t t                      L