东华大学：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第08章 哈密顿理论在物理学中的应用

例:弹性棒纵振动的运动方程。 解:弹性棒的拉格朗日密度为 C=NAn-E 2 ax 0C=1 d0L=九n =先 dt a at2 因此得: ar E an d aL E a(an /ax) Ox dx a(an /ax) ax 0C=0 代入: d aL +∑ C or ,得 )红dx1nax)an 波动方程:元nE30=0,波速v at2 ax

  波动方程： ，波速 。 代入 ，得 ， 因此得： 解：弹性棒的拉格朗日 密度为 例：弹性棒纵振动的运 动方程。 E 0 v x E t 0 dx / x d dt d : 0 x E dx ( / x) d , x E ( / x) dt t d x E 2 1 2 1 2 2 2 2 3 j 1 j j 2 2 2 2 2 2                                                                                 L L L L L L L L L      

§8.2电磁场的拉格朗日方程 真空中的电磁场规律由麦克斯韦方程给出: VE=P/8o 广义坐标为矢势A和标势φ V×E+OB/ot=0 V.V×A=0,V×Vq=0 V·B=0 E=-Vop-aA/at V×B-HEOE/t=pj B=V×A 拉格朗日密度 L=(EE-B/1/2-pop+j. A =|e(Vq-0A/at)2-(V×A)2/p2-p+j·A

[ ( A / t) ( A) / ]/ 2 j A ( E B / )/ 2 j A B A E A / t A 0 0 A B E/ t j B 0 E B / t 0 E / o 2 2 o o 2 2 o o o o o                                                                                      L 拉格朗日密度 ， 广义坐标为矢势 和标势 真空中的电磁场规律由 麦克斯韦方程给出：

d aL ar 0 dt(onk 'si dx l a(ank /Ox, ank/Ox: ) On C=|E(Vq-OA/t)2-(V×A)2/p。/2-p+jA 1、考虑广义坐标φ所对应的拉格朗日方程 aL aL a(a/x) E(V9-0A/0)·i=-8E aL 0,代入拉格朗日方程得:=8∑ OE +p=0 ax 将上式写成矢量形式就是V.E=p/8

    o i i i o o o j i o 2 2 o k 3 k i 1 j k i k i E / 0 x E 0 ( A / t) i E / x , 1 [ ( A / t) ( A) / ]/ 2 j A 0 dx ( / x ) / x d dt d                                                                                    将上式写成矢量形式就 是 ，代入拉格朗日方程得 ： ， 、考虑广义坐标 所对应的拉格朗日方程 L L L L L L L

d ac +∑ aL or 0 dt(oik)台dx[OOnx)Onk L=(EE4-B7u)/2-p+j. A 1、考虑广义坐标A所对应的拉格朗日方程 aL aL OE aA aA aA 19 aL OB 3 B 3 0(OA1/ax2)μa。a(aA1/ax2)μ or B 9 (0A1/0x3)μ 1 aB, aB OE 代入拉格朗日方程得 0 j1=0 Ox at 0 2 3

j 0 t E x B x 1 B B ( A / x ) B ( A / x ) B B 1 ( A / x ) E , A E E A j A 1 A ( E B / )/ 2 j A 0 dx ( / x ) d dt d 1 1 o 3 2 2 3 o o 2 1 3 o 3 1 2 3 3 1 2 o o 1 1 1 o 1 1 1 1 1 o 2 2 o k 3 k j 1 j k j                                                                              代入拉格朗日方程得： ， ， ， 、考虑广义坐标 所对应的拉格朗日方程 L L L L L L L L     

1 aB OB FE =0 Ox at 1 aB, aB OE 0 ax ax °at 1 aB, aB AE 3 0 ax ax ot 将它们结合起来写成矢量形式: AE V×B at 这就证明了电磁场的运动方程确定可纳入到 拉格朗日方程的理论体系中去

拉格朗日方程的理论体 系中去。 这就证明了电磁场的运 动方程确定可纳入到 将它们结合起来写成矢 量形式 j t E B : j 0 t E x B x 1 B j 0 t E x B x 1 B j 0 t E x B x 1 B o o o 3 3 o 2 1 1 2 o 2 2 o 1 3 3 1 o 1 1 o 3 2 2 3 o                                                                  