二、转动惯量的计算 ∑ △m 1.离散分布的物体 J=∑△m1r 2.连续分布的物体 ∫rdm=∫ma 说明: 1)刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置三个 因素决定; 2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同,凡是提到转动惯量, 必须指明它是对哪个轴的才有意义
11 二、转动惯量的计算 1. 离散分布的物体 = 2 i i J m r 2. 连续分布的物体 J r m r dV = = 2 2 d = 2 i i J m r 说明： 1) 刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置三个 因素决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同, 凡是提到转动惯量, 必须指明它是对哪个轴的才有意义
3平行轴定理 =J+md 说明:J为刚体绕质心轴的转动惯量; d为两平行轴间距离。 现以薄板为特例给以证明平行轴定理 如图,质量元对0点位矢为R.,对质 心c的位矢为r,注意到矢量三角形有 R R=Vic+d
3 .平行轴定理 2 J = JC + md 说明： 为刚体绕质心轴的转动惯量； d 为两平行轴间距离。 Jc d 0 c Ri ic r z c z mi 现以薄板为特例给以证明平行轴定理 如图，质量元对0点位矢为 ，对质 心c的位矢为 ，注意到矢量三角形有 Ri ic r Ri ric d = + d C 0
R2=R·R=(+l)(Gn+a) +d2+2d 代入转动惯量公式 J=∑(m1R2) >mric+ m,2+2d 其中笫一项为对质心轴的转动惯量J;笫二项则为md2; 笫三项则为零故得证即 J=c+md 对于三维刚体或质点组,该关系式也是正确的,其证明 思路类似上述
( ) ( ) i c i c i i i i c i c r d d r R R R r d r d = + + = = + + 2 2 2 2 代入转动惯量公式 ( ) i i c i i i c i i m r m d d m r J m R = + + = 2 2 2 （ 2 ） 对于三维刚体或质点组，该关系式也是正确的，其证明 思路类似上述. 其中笫一项为对质心轴的转动惯量 ；笫二项则为 ； 笫三项则为零.故得证.即 Jc 2 md 2 J = JC + md
4.正交轴定理 J=J+J 说明:x,y为平面内正交的轴 z为垂直平面的轴 上述结论学生自已证明) 几种典型形状刚体的转动惯量计算 1)均匀细棒 a)转轴过中心与杆垂直 dm 「rdm=x2"n d d 12
4. 正交轴定理 z x y J = J + J 说明：x, y为平面内正交的轴 z 为垂直平面的轴 (上述结论学生自已证明) z x y mi 几种典型形状刚体的转动惯量计算 1) 均匀细棒 a) 转轴过中心与杆垂直 2 2 2 2 2 12 1 d dx ml l m J r m x l = = l = − o dx x dm z
b)转轴过棒一端与棒垂直 dm J=rdm=x2 I -dx==ml 3 另解:应用平行轴定理,同样可得 J=J+J ml+ml 2)均匀细园环 dm 转轴过圆心与环面垂直 R 0 dm=·dl 2TR
b) 转轴过棒一端与棒垂直 2 0 2 2 3 1 d dx ml l m J r m x l = = = o dx x dm z 2)均匀细园环 转轴过圆心与环面垂直 dm = dl R m 2 = R o z dm m 另解：应用平行轴定理，同样可得 2 2 2 3 1 12 2 1 ml l J Jc Jd ml m = = + = +