e(k)是均值为零的随机噪声。将式(3.5)改写 zk)=-a2-）--ak-n) (3.6) +bk-1)+b,k-2)…+bnk-n)+ek) 可得系统输入输出的最小二乘格式 z(k)=hi(k)0+e(k) (3.7) 式中，h为样本集合，被辨识的参数集合。 hk)=上zk-少-k-n,bk-吵k-ns月 (3.8) 0=41,42,…an,b,b2,,bnj 取准则函数J)=会[2(k)门=会[=(k)-'(kD] (3.9) 使J(0)=min的估计值记作0s称作参数的最小二乘估计值。 11 202414120
2024/4/20 11 e(k)是均值为零的随机噪声。将式（3.5）改写 ( ) ( ) ( ) b u(k ) b u(k ) b u(k n ) e(k) z k a z k a z k n n b n a b a + − + − + − + = − − 1 2 - 1 - - 1 2 1 （3.6） （3.9） （3.8） （3.7） 可得系统输入输出的最小二乘格式 z(k) = h (k) + e(k) 式中，h为样本集合，θ被辨识的参数集合。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − − − − − − na nb a b a a a b b b h k z k z k n u k u k n , , , , , , , 1 , , , 1 , , 1 2 1 2 取准则函数 2 2 1 1 T k k J( ) z( k ) ( k ) = = = = − θ z（k） h θ 使 J ( ) = min 的θ估计值记作 LS 称作参数θ的最小二乘估计值
上述基本概念表明，未知模型参数最可能的值是 在实际观测值与计算值之累次误差的平方和达到最小 值处，所得到的这种模型输出最好地接近实际系统的 输出。 12 202414120
2024/4/20 12 上述基本概念表明，未知模型参数θ最可能的值是 在实际观测值与计算值之累次误差的平方和达到最小 值处，所得到的这种模型输出最好地接近实际系统的 输出
例3.1考虑一个离散时间$ISO系统，设作用于系统的输入序列 为①，2，()}，相应观测到的输出序列为)，2，，()》}。 选择下列模型 z)+az(k-1)=bk-1)+ek) (3.10) 其中，a、b为待辨识参数。将上式写成最小二乘格式 个-k-e-8edw (3.11) =h"(k)0+e(k) 采用准则函数 J0)-2[a(k-2[e()+aek-)-bk- (3.12) 根据输入输出数据，极小化J,求参数a、b使得有(g)=min这 就是最小二乘辨识问题。 13 202414120
2024/4/20 13 例3.1 考虑一个离散时间SISO系统，设作用于系统的输入序列 为 ，相应观测到的输出序列为 。 选择下列模型 u(1),u(2), ,u(L) z(1),z(2), ,z(L) z(k)+ az(k −1) = bu(k −1)+ e(k) （3.10） 其中，a、b为待辨识参数。将上式写成最小二乘格式 ( ) ( ) ( ) ( ) h (k) e(k) e k b a z k z k u k = + + = − − − 1 , 1 （3.11） 采用准则函数 2 2 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) k k J z k az k bu k = = = = + − − − θ z（k） （3.12） 根据输入输出数据，极小化J，求参数a、b使得有 这 就是最小二乘辨识问题。 J ( ) = min
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3.2最小二乘问题的描述 设时不变SISO系统的数学模型为 4上k)=Blek+ek) (3.13) 式中，)和z((为系统输入输出量；e(是噪声；多项式A(化和 B()如式(3.3)所示。现在的问题是如何利用系统的输入输出数据， 确定多项式A(k)和B()的系数。 在解决这类系统辨识问题之前，先明确一些基本假设和基本 关系。首先假定系统模型(3.13)的阶次n和n,已经设定，且一般有 n>n,。当取相同阶次时，记作n=n。=n,其次，将模型(3.12)写成 最小二乘格式 z(k)=h(k)0+e(k) (3.14) 15 202414120
2024/4/20 15 3.2 最小二乘问题的描述 设时不变SISO系统的数学模型为 A(z )z(k) = B(z )u(k)+ e(k) −1 −1 (3.13) 式中，u(k)和z(k)为系统输入输出量；e(k)是噪声；多项式A(k)和 B(k)如式(3.3)所示。现在的问题是如何利用系统的输入输出数据， 确定多项式A(k)和B(k)的系数。 在解决这类系统辨识问题之前，先明确一些基本假设和基本 关系。首先假定系统模型(3.13)的阶次na和nb已经设定，且一般有 na>nb。当取相同阶次时，记作n=na=nb，其次，将模型(3.12)写成 最小二乘格式 z(k) = h (k) + e(k) (3.14)