26 第二章统计系综和Liouville定理 可见，f(9,p,)是归化了的函数， f(9,p,)表示相点在T空间中几率密度的分布。相空间 中的每一个相点代表系综中体系的运动状态，则f就反映出体 系在系综中占据各种状态的几率分布。体系的·个宏观物理量 是各种微观状态的微观量的平均值。这样，就可以根据f来求 宏观物理量。 例如，体系的一个物理母G,是9、p和的函数G(9,p,)。 在某-时刻t时的平均值G为： G-Gfur=JnG÷r Godr (2.9) 石是对整个相空间的平均值。式中∫和P是物理量G在相空间 的体积元dT内的几幸密度和相密度. 体系物理量的实测值G是多次测量结果的平均值。每 一次测量时间对宏观来说是很短促的，但是对微观来说是是够 长的。因此，每一次测量结果都是对时间t的平均值： Ga.-If (2.10) 即 GobG() (2.11) 在统计力学中，慢设只要系综中的体系都重复实际研究体 系的热力学态和环境的话，则在实际体系中，按时间平均的任 问力学量G(t)就等于这个力学景对系综的平均值G,当然， 这个假设仅在”→∞的极限条件下才正确，即 G=G(1) (2.12) 这仍可比喻对一个体系拍摄的一部影片，剪成段，即
S2.2 Liouvi11e定理 27 得到矿个镜头。这个镜头的平均结果就相当于按时间的平 均值。对系综中的个体系拍援”部影片，可以从这r部 影片中选出t时刻的个镜头。这？个镜头的乎均结果就相 当于系综平均值.那么，当体系数”趋于无穷大时，它们会占 居各种不同微观状态。实际体系在测是时间内，在微观上是足 够长的时间，它可以经历各种微观状态，因而，时间平均值与 系综平均值是等效的。 这条假说在统计力学中叫各态历经假说或爱高狄假说 (Ergodic hypotheis),它是由Boltzmann在l871年提出来 的，Maxwel1把这个假设称做路程连续性假说。 Ergodic假说是··个尚有争议的课题，这里不拟作进一步 的说明。实际，可取“观测值等于对系综的统计平均值”做 为统计力学的一个基本假定，从而构筑起平衡统计力学的全龚 理论，而毋须什么“各态历经假说”等做为它的基础。至于它 的正确性，留给客观实践去检骑。 §2.2 Liouville定理 由p或/的定义知道，它们都是坐标9,9：，，9，动量 1,p2:…,p和时间的地数P(9,p,)、f(9,p,).关于p或 f与t的关系，在1838年Liouvil1c提出的数学理论基础上， 发展成统计力学中的·条定理。它说明保守力学体系在相空间 里相密度在运动中不变化，或者说相密度守恒。对系综分布函 数f来说，就是它不随时问改变，即： dp=0或 df-0 (2.13) d
28 第二茸统计系综和Liouvil1e定理 如果在厂-空间中分布”个相点，并把每个相点看成是· 个力学体系，则这就是所讨论的统计系综.这些相点代表体系 的运动状态，并沿着Hamilton方程所规定的相迹运动。这些 相点由相空间的一个区域开始运动，经过一定时间后，就会移 到另一个区城 假设在T空间中，坐标为91，…，9，卫1，，p:的点附近 有一个小体积元89：…69：8p1…8p5.该体积元中的相点数d矿 为： dr=pδg1…8g8p1…8p1 (2.14) 由于在T-空间中相点的运动，“般说来d矿将随时间而改变. 如果经过任何一个“面”进人体积元中的相点数和由相对“面” 离开体积元的相点数不等，则将产生这种改变。 于广-空间中，在9，和9：+69处取垂直于9：的两裁面， 在p:和：+6邦，处取两截而乘直于p:。这样，在T-空间中就 截取·个体积元d为： dT=d9,δga…6gr8p1dp2…δpf 以三维空间中的小立 P (P,…P) 方体δx8y62为例。说明 P:+8P 单位时间内进入其中的相 点数（图2.4）.在x处垂直 x轴的平面上，以yδz为 底面积和以相点在x方向 9:+ò41g(9…g》 的移动速度文=为高 di 图2.3 的长方体中的相点 px8y6z,在单位时闻内都可进入立方体积元dx8y心z中
2,2 Liouville定理 29 把三维情况扩展到 2f维T-空间，在单位时 间内从g:面进入dT内y的 相点数为： pd98q169a… dt 8q:-18g+1…δgr6p1 …8pr 图2.4 翻 p9,8g1…8g.18q:+:…8q,6p1…8p 如果在9：而处的相密度为P,那么在9：+dq:面处的相密度 为： aq: 相点在9，方向的速度分量9：也变化为： (g,+38:g: 3g 因此，在单位时间内离开9：÷69：面的相点数为： (p+6.69）(:+329.）igdq-g… 8q,8p1…dp1 在单位时间内，从9：面进入d内的相点数减去离开q:+δ9：面 的相点数，即为单位时间内休积元d广中在9：方向上相点数 的变化： aqi 8q1…0q:8p1…dpi 对p:坐标方向上有类似表示武：
30 第二章统计系综和Liouville定理 [41g.=-( 3：+p:ap 3p ap, 6q1…8qdp:…dp1 对∫个坐标和手个动量的所有项取和，就可得到在一空间的 体积元d广内相点数的变化速率： [421,=-立{e(+ gp g:+ap aq: pi } ·8q1…dg:dp1…δp1 (2.15) 用体积元dT=6q1…8g:6p…8p;除(215)式，得 [倍1，=-2{(+0》 + api (2.16) 这就是在所研究的空间中…个点(91，，9p1,…,p)附近 相密度改变的速碎，即 [21,=(入 整理(2.16)式得： (2),+2{(8+器) +(器.+}=0 (2.17) 因相空阀中相点的运动服从也经典力学导出的Hami1ton运动 方程：