S2.2 Liouv11e定理 31 9= aH 3P✉ i=1,2,…f (2.18) A4=91 aqi 式中H为Homil1on函数，是把总能量表示为q和p的函数. 取g:对g和p:对p:的导数，由(2.18)式得： 39 -a2H a-H aq: ap aqapi 因此，在(1.17)式中 39+ 3p:} =0 (2.19) aqi 8p: 于是(2.17)式变为： (器)，+g+=0 (2.2) 方程式(2.20)中的第-项是所有9：和p:固定时，相密度的 变化速率。第二项和第三顶分别是对固定p,和固定g:时P随 着9：和p,的变化. 因为相密度是坐标、动量和时间的函数P(q,p,),所以 方程式(2.20)的三项之和等于相密度对时间的全导数dp/dt, 根据(2.20)式，必须 dp.=0 (2.21) 出此可见，对丁保守力学体系，在相空间中拥密度不随时询改 变. 根房p和∫的关系(2,7)式 (2.7)
32 第二章统计系综和Liouville定理 对于保守力学体系，”是不变的、所以 df=1 dp dt -=0 (2.22) 这说明系综分布函数∫也不随时倒变化， 根据Liouville定理，可以得出两条推论： 【推论一】相体积守恒. 在相空间中，-一个区域的边界点按照Homilton运动方程 运动时，这个区域的体积不变（图2.5）. t。时，相空间中的体 积元dT。=dq,dp,经 过一段时间，边界点按照 Hamilton方程运动.t.时 刻，它的体积为dT:= dg1dp.即 dro=dT (2.23) 根据Liouville定理， 图2,5 相密度p在运动中不变。 对于保守力学体系，相点总数”在运动中也不变，则 f。=dh rdT。 f1=P1= dr dri 因为f。=f1或p。=p1,即可得出(2.23)式的结论. 【例题1试以一维谐振子为例，说明Liouville定理的推 论一对它们是正确的
2.2 Liouv1e定理 33 解，一维谐振子的相轨迹为一椭圆、为论证相体积守恒， 考虑以下情形： △q.t1 于时刻t。:p一0，q-q0 AP B 于时刻t:p心p1g心0 R 由 E=+夷 27n 9品，得 AE=-p△P+kgAq 因。时， 图26 AE=0+kq。△9a ().=-(g）。=9: 即 At。△E=△p,△q6=面积A 又时，（器），=品，49：=（册）A,则 △E=.P:-Ap1 ? △t1AE=Ap:△g1=面积B 因 △t。=△t,则八p:Ag1=AP,△q0 印 A-B 【推论二】相间体积元在正则变换中不变。 正则变换前的体积元为： dT=dq1"daidp…dp1 变换后的体积元为： dT'=dgi…dq;dp,…dpy 根据多重积分的变量变换公式：
34 第二“章统计系絲和Lou￥1lo定理 dr!=Jdr 式中J是Jacobi行列式. J=3(g,9ipi,…,p) 3(9:,,9fp,“,p) 根据推论1，则有： dT=dT,则J=1 郎 dqi…dgidp,…dp,=dg1…dqidp1…dpg §2.3统计平衡和Gibbs分布 Liouyil1e定理揭示了相密度和系综分布函数的一些性质。 但是它没有给出相密度P和系综分布函数手的具体函数形式， 还不能用来计算统计平均值。 当在Γ一空间中的各个区域内找到相点的几率和时间无关 系时，则该系综处于统计平衡。在这样条件下，系综中体系性 质的平均值也将和时间无关。从数学角度来说，对处于统计平 衡的一个系综，在T-空间中所有各点，即对所有的q和值， p都是和时间无关的。即 (2.24) 在满足(2.24)式的条仆下，对应于不同类型的统计系 综，P可以是不同类型的函数形式，例如，在相空间的任何地 方手或P具有相同的数值，它将和时间t无关。当一部分相点 从相空间一个给定区域离开时，另一·部分相点必定进入该给定 区域，因为所有部分相点都必须保持相同的相密度。因此，这 个给定区域的相密度就不能变化。这是一种整个相空间的均匀
S2.3统计平和Gibbs分布 35 分布，它无重要意义，可以设想更狭小的稳定的均匀分布，因 为任何一个体系的相点运动的相迹不能包括全部相空间。这个 相迹被限制在ITamilton函数H(q,p)是常数的假想表面上， -个派立体系不改变自己的总能量.因此，知如果f对H(q,p)相 同的所有相空间部分都是相等的，那么当相点沿着恒定H(9, )路线运动时，在给定区域的相点密度就不可能有所改变. 这样，就可以认为P是体系运动的某种性质，例如能量的 函数。用H描述这种性质，则p可以表示为： p(H) 那么，根据Lio1￥i1le定理，方程式(2.20)变为： ().+器（盟i+张月 日)=0 (2.25) a 因为H是坐标和动是的函数H(g,p),但是对任何给定保守体 系，它的效值不随时间变化，即=0。于是 器-g,+)=0a.2) dH 3p: 结合(2,25)和(2.26)式，即可得到： =0 因下标q,p是任意的，做该式说明，这个关系对T-空间中的 所有点都是适的，这正是统计乎衡所要求的条件。显然，如 果”是体系的采种不随时间改变的运动性质的函数，则所论体 系的统计系综是处于统计平衡状态的. 下面讨论儿种不同类型的分布函数，它]都对应于体系热 力产状态的不同特征。p或∫的函数形式可以不同，但是它们 不能为负值，必是单悦并且要满足归-·化条件： fdT=】