1定义 定义2如果对于任意给定的正数E(不论它多 么小),总存在正数δ,使得对于适合不等式 0<x-x0<8的一切x,对应的函数值f(x)都 满足不等式∫(x)-A<E,那末常数A就叫函数 ∫(x)当x→>x时的极限,记作 limf(x)=A或∫(x)→A(当x→>x0) x→x0 ε-8"定义v>0,38>0,使当0<x-x<δ6时, 恒有∫(x)-A<E
1.定义: 定 义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多 么 小) ,总存在正数,使得对于适合不等式 − 0 x x0 的一切 x,对应的函数值 f (x)都 满足不等式 f (x) − A ,那末常数A就叫函数 f (x)当x → x0时的极限,记 作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " − "定义 ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A x x 恒有 使当 时
注 ①定义习惯上称为极限的ξδ定义其三个要素: 10。正数ξ,20。正数δ,3°。不等式 f(x)-Ak6(0<x-x0k6) ②定义中04x-x0k6表示x≠x0 所以x-Ax0时,f(x)有无极限与f(x)在x处的状态 并无关系,这是因为我们所关心的是x)在x附近 的变化趋势,即x→x0时fx)变化有无终极目标, 而不是八x)在x这一孤立点的情况。约定x→x但 xto
注 ①定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素： 1 0。正数ε，2 0。正数δ，3 0。不等式 | ( ) | (0 | | ) f x − A x − x0 ②定义中 0 | x − x0 | 表示x x0 所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态 并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近 的变化趋势，即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标， 而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x →x0但 x≠x0
③δ>0反映了x充分靠近x的程度,它依赖于E, 对一固定的E而言,合乎定义要求的δ并不是唯 的。⑧由不等式/(x)-A|<E来选定, 般地,ε越小,δ越小 2.几何解释 y=f(x) 当x在x的去心8邻A+ 域时,函数y=∫(x) A 图形完全落在以直4-E 线y=A为中心线 宽为2的带形区域内.O Ro+o 显然找到一个δ后,δ越小越好
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小 2.几何解释: 2 . , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 = = y A y f x x x 0 x A A− A+ x0 − x0 + y = f (x) x y o 显然,找到一个后,越小越好
例2证明lim(3x-1)=5 2 证|∫(x)-5|=3x-2 要使|∫(x)-5=3|x-2|<E 只须|x-2k 3 于是VE>03(=)当0<x-2k°时 恒有|f(x)-5k<6 今lim(3x-1)=5 x→)2 例3设x0>0证明Iim√x
例2 证明 lim(3 1) 5 2 − = → x x 证 | f (x) − 5 |= 3 | x − 2 | 要使| f (x) − 5 |= 3 | x − 2 | 3 | 2 | 只须 x − 于是 0 ) 3 ( = 当0 | x − 2 | 时 恒有 | f (x) − 5 | lim(3 1) 5 2 − = → x x 例3 设x0＞0 证明 0 0 lim x x x x = →
证|√x d-d 0 r-d 0 x+、x 为使|x-x0kl,只须|x-x0k√xnE vE>0取δ=min{xn,√xe} 当04x-xKo时恒有 0 <E 0 例4证明lima=1(a>1) →0 证VB>0(不妨设<1) 要使|a2-1k<
证 0 0 0 | | | | x x x x x x + − − = 0 0 | | x x − x 0 0 0 为使| x − x | ,只须| x − x | x 0 min{ , } 0 0 取 = x x 当0 | x − x0 | 时 恒有 − − 0 0 0 | | | | x x x x x 例4 证明 lim 1 ( 1) 0 = → a a x x 证 0 （不妨设ε＜1） | − 1 | x 要使 a