数量积与向量积 两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=F‖|cose(其中b为F与的夹角) 启示两向量作这样的运算结果是一个数量 定义向量与b的数量积为a·b d·b=‖bcos6(其中为与b的夹角)
数量积与向量积 一物体在常力F 作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F 所作的功为 W | F || s | cos = (其中 为F 与s 的夹角) 启示 向量a 与b 的数量积为a b a b | a || b | cos = (其中 为a 与b 的夹角) 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 一、两向量的数量积
6 d·b=‖b|cos6 b|cos=Prjb,向量b在向量a方向上的投影 d|cosθ=Pr/a,向量a在向量b方向上的投影 d·b= b prj,a=|a|Prjb 结论两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点积”、“内积
a b a b | a || b | cos = | b | cos Pr j b, a = 向量b在向量a方向上的投影 | a | cos Pr j a, b = 向量a在向量b方向上的投影 a b b j ba =| | Pr | a | Pr j b. a = 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积. 数量积也称为“点积”、“内积
关于数量积的说明: (1)a·a=l 证∵6=0,∴l·=l‖lic0sb=l (2)a.b=0←→d⊥b 证(→):·b=0,|l|≠0,|b≠0, c0s6=0,θ=π,∴db 2 (÷)∵a⊥b,6 cos=0 2 n·b=l‖b|cos6=0
关于数量积的说明： (2) a b = 0 a b. ⊥ () a b = 0, | a | 0, | b | 0, cos = 0, a b. ⊥ (1) | | . 2 a a a = () a b, ⊥ cos = 0, a b =| a || b | cos = 0. = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a 证 = = 证 = , 2 , 2 =
数量积符合下列运算规律: (1)交换律:ab=b·G; (2)分配律:(+b)·C=l·C+b·e; (3)若为数(Am)·b=a·()=4(a·b), 若、数:(an)(pb)=x(a·b) 证明(1)、(3)由定义可证 余下证明(2)
数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a; = （2）分配律： (a b) c a c b c; + = + （3）若 为数 ( a) b a ( b) (a b), = = 若 、 为数： ( a) ( b) (a b). = 证明 （1）、（3）由定义可证 余下证明（2）
仅就下图所示的情形给出证明,其它情形可 仿此证明 (+b)· IcRi(a+b) lc|(Pr元d+Prjb) a+b/ b cPrja+cprje i·c+bc
仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明 a b a b + c a b c ( + ) | c | Pr j (a b) c = + | c |(Pr j a Pr j b) c c = + c j ca =| | Pr c j cb + | | Pr a c = b c +