闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质, 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重 大的价值,起着十分重要的作用。下面我们 就不加证明地给出这些结论,好在这些结论 在几何意义是比较明显的
闭区间上连续函数的性质 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质， 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重 大的价值，起着十分重要的作用。下面我们 就不加证明地给出这些结论，好在这些结论 在几何意义是比较明显的
最大值和最小值定理 定义:对于在区间上有定义的函数∫(x) 如果有x0∈Ⅰ,使得对于任一x∈都有 f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0) 则称f(x0)是函数f(x)在区间上的最大(小)值 例如,y=1+sinx,在0,2m上,ym、=2,ym=0; y=sgnx,在(-∞,+∞)上,ynm、=1,y 在(0,+∞)上, max mIn 1
一、最大值和最小值定理 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 2, ymax = 0; ymin = y = sgn x,在(−,+)上, 1, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin =
定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 若∫(x)∈C|a,b, 则丑51,2∈[a,b y=f(x) 使得Ⅴx∈a,b, 有∫(1)≥∫(x) ∫(52)S∫(x) ξ;bx 注意:1若区间是开区间,定理不一定成立 2若区间内有间断点,定理不一定成立
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值. ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 x y o y = f (x) a b 2 1 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
y=f(r) y=f(x 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界 证设函数f(x)在[a,b上连续,Vx∈[,b 有m≤f(x)≤M,取K=max{m,M}, 则有f(x)≤K.∴函数f(x)在[a,b上有界
x y o 2 y = f (x) x y o y = f (x) 1 2 1 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f (x)在[a,b]上连续, x [a,b], 有 m f (x) M, 取 K = max{m, M }, 则有 f (x) K. 函数f (x)在[a,b]上有界
二、介值定理 定义:如果x使f(x)=0,则x称为函数 ∫(x)的零点 定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b 上连续,且f(a)与∫(b)异号(即f(a)·f(b)<0), 那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零 点,即至少有一(a<ξ<b),使f(2)=0 即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根
二、介值定理 定义: ( ) . ( ) 0, 0 0 0 的零点 如果 使 则 称为函数 f x x f x = x 定理 3(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0), 那末在开区间(a,b)内至少有函数f (x)的一个零 点,即至少有一点 (a b)，使 f () = 0. 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根