26. 第1章插值 为∫)关于点x0,1,2的二阶差商。 函数f关于xo的零阶差商即为函数在o的函数值fzo]=∫(xo: 设f(x)在包含xo和x1的区间上可微，则由中值定理有 firo,El=f'(,∈o,xl 定义1.3k阶差商 设x0,1,…,xk互不相同，f()关于0,1，·，k的k阶差商为 f0,,…,=f1,2…-f0,4,k- (1.11) Tk-T0 关于差商有很多性质，我们仅列举其中的两条. 性质1.1k阶差商fo,x1,·,xk]是由函数值f(o,f(1),…,f(xk)的 线性组合而成 o,…,= 1 气西-0国---+1…(G-环f) 用归纳法可以证明这一性质。 例如： f,1,=1-fo,l r2-C0 f(zo) f(x1） f(x2) (m-)0-2+(国1-0)西1-十(2-0)2- 性质1.2若{io,i1,…,i}为{0,1，…，k}的任一排列，则 f0,T1,…,Ek]=fE0,E1,…,T] 该性质表明差商的值只与节点有关而与节点的顺序无关，即差商对节点具有对 称性，这一性质由性质1.1可直接推出. 性质1.3若f倒为m次多项式，则fo,,,-1到为m-k次多 项 事实上f)-o)有因子x-0,故0，日=@)-儿0为m-1次多 E-0 项式，于是可归纳证明此性质
1.2牛顿(Newton)插值多项式 27 2。差商的计算 按照差商定义用两个k-1阶差商计算k阶差商，通常用差商表的形式存放和 计算（表1.1） 表1.1差商表 阶差商 二阶差商 三阶差商 n阶差商 00f(r0) 1x1fE1) f[zo.z1 2x2f(x2) f江1，x2 fIo.I1.22 33 f(2,al f1,2,3 fr0,x1,x2,x3 n In f(in)fn-1,n】fen-2,王n-1,en]flen-,…,xnl 由于差商对节点具有对称性，可以任意选择两个k一1阶差商的值计算k阶差 商.例如 f,,=E,-fo,_fo,-fo,到_e,2-fo,到] 2一E0 2一E1 E1一0 等多种形式 例1.5计算(-2,17)，(0,1)，(1,2)，(2,19)的一至三阶差商. f(zi)i-1,i-,fi-3.2,-1i 0 2 17 1 0 1 f-2.01=-8 2 f10.1=1 f-2,0.1=3 2 19 f,2=17 01,2=8 f-2,0,12=1.25 解f-2,0]=(1-17)/(0-（-2)=-8 f0,1=(2-1)/1-0)=1,f1,2=(19-2)/2-1)=17 f-2,0,刂=(f0,1刂-f-2,0)/1-(-2)=3 f0,1,2=(f1,2-f0,1)/(2-0)=8 f-2,0,1,2=(f10,1,-f-2,0,10/2-(-2)=1.25 1.2.2 Newton插值 1.线性插值 问题1.4给定两个插值点(x0,f(r0),(1,f(m1),z0≠x1,怎样构造线性插 值函数的Newton形式？ 用点斜式构造线性插值函数，设N1(x)=ao+a1(红-xo),将x=xo,x=1代 入N(e)得
28 第1章插值 N(ro）=ao=f(ro,(x1）=f(xo)+a1(r-xo)=f(x1) a1=fa）-f儿=fo,l 1-0 得到线性插值的Newton形式： Ni(r)=f(xo)+(x-xo)f[ro.r1] (1.12) 由插值唯一性，线性插值的Newton形式N(e)与Lagrange形式L(z)为同 一个多项式，仅是表达形式不同而已 2。二次插值多项式 问题1.5给定{(c,f(z),i=0,1,2头，互不相同，怎样构造二次Newton 插值多项式 分析Newton插值基函数{1，x-xo,(e-ro)(红-x1)} N2()=a0+a1(-x0)+a2(-0)(-1】 N2(xo)=fxo),N2(1)=f(x1) ao+a1(e-xo)就是f(r)关于xo,x1的线性Newton插值N1(z,即 N2(x)=N()+a2(x-o)(x-t1) 在构造N(x)过程中已经计算出a0,a1,将x=x2代入上式得 N2(x2)=f(xo)+f[ro,x1](x2-ro）+a2(x2-ro)(x2-x1)=f(x2) 整理得 a2oo 2-x1 得到二次插值的Newton形式： N2(r)=f(ro)+(z-ro)f[ro,1]+(x-ro)(x-z1)f[ro,1,2] (1.13) 3.n次Newton插值函数 问题1.6给定{c,f》,i=0,1,…,n其中互不相同，怎样构造n次 Newton插值多项式？ 用数学归纳法给出构造过程。由一阶差商的定义f化，可=@）-回，有 x-to f(x)=f(zo)+(-ro)f[,rol
1.2牛顿(Newton)插值多项式 ·29 注(1)式是f(x)的零次插值，f(x)=No()+R(x) 为了进一步展开f,0,由f,0,=-o得 工一工1 f[,ro]f(ro,1]+(-1)f[,ro,z1] 2) 将(2)代入(1)得到Newton线性插值多项式 f()=f(xo)+f[ro,1](x-xo)+f[r,xo,](x-xo)(-1) f(x)=N1(x)+B1(x) 设k=n-1时，有 f(r)=f(ro)+(r-zo)f(ro,]+(z-ro)(-r1)f[ro,r1,x2]+.. +(x-o)(红-x1)…(x-xn-2fx0,1,…,xm-i+m-1(x) f(x)=Nn-1(e)+(e-to)(e-x1)…(e-xn-1)fz,x0,x1,…,n-i(3) 由 f,,…,l=,n--,到 T-Tn 有 fz,xo,…,xn-i=fx0,x1,…,n+(e-n)f,xo,…,nJ (4) 将（④式代入(3）得到 f(r)=Nn(r)+Rn(r) 其中 Nn ()=f (zo)+(-xo)f[ro,1]+... +(-x0)(-1…(x-n-1）f0,1,…,nl Rn(x)=(-xo）(e-x1…(-n)f,r0,1,·,xn N(e)至多为n次多项式，可以验证N(x)=f(),i=1,2,…,n;称N(x)是 过n+1个插值点的（至多）n次Newton插值多项式.也记 N)=fl+∑f,…,-oe-)小…(-k- 其中 R(z)=fl,zo,1....,In](-z)
·30 第1章插值 为插值多项式的误差 由插值多项式的唯一性得到Lagrange插值多项式L(m)与Newton插值多项 式N(x)是完全相同的，它们是同一插值多项式在不同基下的不同表达形式，因 此Lagrange插值多项式的余项与Newton插值多项式的余项也完全相等.故当 ∫∈Cm+a,时，有 f(n+1)(E) R(x)= a+开Ⅱ c-)=,0…,xnlΠe-x动 故有 fm+1)（e a+=f,0,,…, (1.14) (1.14)给出函数差商和导数之间的关系式。 记Nn()=∑()fr,…,x,其中 to(x)=1, 4回=e--回=e-i=12,n 也有 t(e)=0,j<i t()≠0，j=i 可以看到Lagrange插值多项式是基函数{（工），i=0,1,·,n的线性组合 Newton插值多项式是基函数{(z),i=0,1,…,n}的线性组合。 Newton插值多项式的承袭性质表现在 N()Nx-1()+t()f[zo:1.....] 对于k-1阶Newton插值多项式Nk-1(x),只需增加一项t(z)fo,x1,·, 即可得到k阶Newton插值多项式Ne(x, 例1.6设f国)=10r3-100x+1,计算f0,1,2,,0,1,2,,4 其中{x,i=0,1,·,4}任 解fx0,1,x2,x3l= f(1-60 10 0 fr0,1,2,d3,x4= 例1.7给定如表1.2所列插值节点的值，构造Newton形式插值函数，计算 N2(0.9),N3(0.9) 表1.2 -2 0 2 f() 17 1 19