以原点为中心，2与3分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、开的多连通区域。(5) -1<2+3x>-10直线x=-1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。(6)-1<argz<-1+元由射线9=1及9=1+元构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是无界的、开的单连通区域。(7)[=-1<4|2+1/x++115.1S8/15-17/1511
以原点为中心，2 与 3 分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、 开的多连通区域。 （5） z −1 < z + 3 ⇔ x > −1 y -1 D O x 直线 x = -1 右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。 （6）− <1 arg z < −1+π x y o -1 由射线θ = 1及θ = 1+π 构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是 无界的、开的单连通区域。 （7） 2 2 17 2 8 1 4 1 15 15 z z x y ⎛ ⎞ ⎛ − < + ⇔ ⎜ ⎟ + + > ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ O x D 8/15 -17/15 y 11
-兴，半径为是的圆周的外部区域（不包括圆周本身在内），是无中心在点2=15+15界的、开的多连通区域。(8)|z-2/+z+2<≤64yV5122是椭圆二1及其围成的区域，是有界的、闭的单连通区域。954(9) [=-2|-|≥+2>1 4x2.15>1x<0y+x1/24是双曲线4x2_-v2=1的左边分支的内部区域，是无界的、开的单连通区域。15(10) zz-(2+i)=-(2-i)三≤4V112
中心在点 15 17 z = − ，半径为15 8 的圆周的外部区域（不包括圆周本身在内），是无 界的、开的多连通区域。 （8）| 2 z z −++ | | 2 |≤ 6 x y o 3 5 是椭圆 2 2 1 9 5 x y + = 及其围成的区域，是有界的、闭的单连通区域。 （9） 2 2 4 2 | 2 | 1 4 1, 0 15 z z − − + > ⇔ x − y > x < D －1/2 y x 是双曲线 2 4 2 4 15 x − y =1的左边分支的内部区域，是无界的、开的单连通区域。 （10） zz − + (2 i)z − − (2 i)z ≤ 4 x y o 2 -1 12
是圆（x-2)+（y+1)2=9及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。23.证明：z平面上的直线方程可以写成az+az=C（a是非零复常数，C是实常数）证设直角坐标系的平面方程为Ax+By=C将112-司)代入，得x=Rez:(2+=),=Imz=2i-1(A-iB)z+A-iB)E=C22今a(A+iB)，则a=(A-iB)，上式即为a+az=C。224.证明复平面上的圆周方程可写成：z+αz+αz+c=0,（其中α为复常数，c为实常数）。证（z+a)+a)=Rzz+az++aa-R=0，其中c=aa-R为实常数。25.求下列方程（t是实参数）给出的曲线。(1) z=(1+i)t:(2)==acost+ibsint;.i(4) ==°+1(3) z=t+13t(6)z=ae"+be-it(5)z=acht+ibsht（7）z=eat（α=a+bi为复数）(x=t解（(1)z=x+iy=(I+i)t(=/-0<1<8。即直线y=x。x=acost（2）==x+iy=acost+ibsint-0<t≤2元，即为椭圆y=bsintx2 y?=1:a2b2x=t1(3) z=x+iy=t+即为双曲线xy=1：V:11x=12(4) ==x+iy=t2即为双曲线xV=1中位于第一象限中的一ty=72支。13
是圆 9 及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。 23．证明：z 平面上的直线方程可以写成 2 2 ( 2 x y − + ) （ ）+1 = az + az = C （a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角 坐标系 的平面 方 程 为 Ax + By = C 将 ( ) 2i 1 ( ), Im 2 1 x = Re z = z + z y = z = z − z 代入，得 A − B z + (A − i B)z = C 2 1 ( i ) 2 1 ( i ) 2 1 令 a = A + B ，则 ( 2 1 a = A − iB)，上式即为 az + az = C 。 24．证明复平面上的圆周方程可写成： zz +αz + + α z c = 0,(其中α为复常数，c为实常数)。 2 2 ( ) 2 证 z a + ( ) z a + = R ⇔ zz + az + az a + a − R = 0 ，其中 c = − aa R 为实 常数。 25．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。 （1） z = (1+ i)t ； （2） z = a cost + ibsin t ； （3） t z t i = + ； （4） 2 2 i t z = t + ， 5） （6） 7） z e = = α a + b 为复数 1） 。即直线 （ （ αt z a = + cht ibsht i i t t z ae be− = + ,( i ) ⎩ ⎨ ⎧ −∞ < < ∞ = = = + = + ⇔ t y t x t 解（ z x iy (1 i)t , y = x 。 （ 2 ） sin i cos i sin ⎩ ⎨ = = + = + ⇔ y b z x y a t b t , 0 2π cos < ≤ ⎧ = t t x a t ，即为椭圆 1 2 2 b 2 2 + = y a x ； （3） ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⇔ y = 1 ，即为双曲线 1 ⎧ = = + = + t x t t z x y t i i xy = ； ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = + = + ⇔ 2 2 2 2 1 i i t y x t t （4） z x y t ，即为双曲线 xy = 1中位于第一象限中的一 支。 13
x2v2x=acht(5)z=acht+ibsht=1，双曲线b2a?y=bsht2y2(6)1椭圆(a-b)2(a+b)22aarctan(7)x+y=eb126.函数W=将=平面上的下列曲线变成w平面上的什么曲线Z(-=x+iy,w=u+iv)?(1) x2+y2 =6 :(2) y=x;(3) x=1:(4) (x-1)+y =111xyx-V解W=可得u=V3x?+ y2x+iyx+y?x? + yx? + y2x2 + y211(1)u?+?是w平面上一圆周：4x?+y?(x2 + y2)-(- y)xy(2)u=是w平面上一直线：vx2 + y2x+yx+ y11-y（3）由x=1，知u=从而u+1=21+y21+y21+ y2此为u-是w平面上一圆周；21(4) (x-1)2 + y2 =1 x2 +y2 = 2x于是u=是w平面上-x+y222平行与轴的直线。27.已知映射w=23，求（1）点==i，=，=1+i，z=3+i在w平面上的像。<"在w平面上的像。(2)区域0<argz<3解设z=re，则の=2=re3。于是-(1)z=i=e,2=1+i=V2(cos+isin4V3.=206=2(cos+isin㎡)2, = V3 +i= 2+1266214
2 2 2 2 ch ch i sh 1 sh x a t x y z a t b t y b t a b ⎧ = = + ⇔ ⎨ ⇔ − = ⎩ = （5） ，双曲线 2 2 2 2 1, ( ) ( ) x y a b a b + = + − （6） 椭圆 2 arctan 2 2 a y b x （7） x y + = e 26 ． 函 数 z w 1 = 将 z 平 面 上的下 列 曲线变 成 w 平面上 的 什么曲 线 ( ) z = x + iy,w = u + iv ？ （1） x2 + y2 = 6 ； （2） y = x ； （3） ( 1) 1 2 2 x =1； （4） x − + y = 2 2 2 2 1 1 x y y i x y x z x iy w + − + = + = = ， 2 2 2 2 , x y y v x y x u + − = + 解 = ，可得 （1） ( ) 2 2 2 2 x y 1 1 u v x + + = = = ，是 平面上一圆周； （2） w 2 2 2 2 2 x y 4 + y + ( ) v x + y x + y 2 2 2 2 y y x y x u = − − − = = + = 2 2 ，是 平面上一直线； x = w （3）由 1，知 2 1 u = , 1+ y 2 1 y v y − = ，从 2 2 2 1 1 u v u y + = = + + 而 此为 2 2 1 1 2 2 2 u v ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ − + = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ 是 平面上一圆周； （4） w ( ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 = + − + = ⇔ + = ⇔ x y x x y x y x ，于是 2 1 u = ，是 平面上一 平行 的直线。 27．已知映射 ，求 （ w 与 v 轴 3 w = z 1）点 i z1 = ， 1 i z2 = + ， 3 i z3 = + 在 像。 （2）区域 w 平面上的 3 0 arg π < z < 在 平面上的像。 解 设 ，则 。于是 ） w iθ z = re θ ω 3 3 i3 = z = r e 4 2 2 i 1 4 isin 4 i , 1 i 2 cos π π π z e z ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = + = + i 2 π （1 e 6 i 3 2 z 3 2 ⎜ ⎜ ⎝ = 2 6 isin 6 2 cos 2 1 i 3 i π π π ⎟ = e ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ + = + 14
经映射后在w平面上的像分别是w, =ei3x/3 = -i,33114 =2/2W,=22e4-2+i2,22iW,=2'e7=8i（2）因为以原点为顶点的角形域的顶角张大三倍，所以为0<argw<元。29.设函数(z)在zo处连续，且f(=o）±0，证明存在zo的邻域使f(=)±0。[f(=0)]证因为limf()=f(=o)，且f(=o)+0。可取g=>0，则35>0，当2-20<8时，有[(-)- (0)]<6= L(0)]2L(ol>0 即点≥eU(=0. )时,则 (=)± 0 。从而[(0)-(,即(>2230.设lim f(=)=A，证明f(=)在z。的某一去心邻域内是有界的。证取ε=1，则存在8>0，当0z-z.8时，1f()-A1。故在0=-z内，1f()Hf()-A+Af()-A|+|A+[A|。1(zz31. 设f()=(z±0）试证当z→0时f(=)的极限不存在。222xy1(zz)证 f()=显然。.2i(=)-x+y232.试证argz(-元<argz≤元）在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z平面上处处连续。证设f(2)=arg=，因为f(0)无定义，所以(=)在原点2=0处不连续。当z0为负实轴上的点时，即==x(%<0)，有17limarctanx0+0limarg=→=0limarctanxXoy-→0所以limarg=不存在，即arg=在负实轴上不连续。而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。15
经映射后在 平面上的像分别是 ， w i i3 /3 1 = = − π w e 2 i 2 2 1 3 2 3 ⎟ ⎞ i 2 1 2 2 2 4 2 = − + ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = − + π w e ， 2 8i 2 i 3 3 = = π w e （2）因为以原点为顶点的角形域的顶角张大三倍，所以为0 <arg w < π 。 29．设函数f(z 在 处连续，且 0 ) z0 f (z ) ≠ 0 ，证明存在z0的邻域使 。 证 因为 0 f z f z z f (z) ≠ 0 ( ) 0 lim ( ) = z → ，且 f (z0 ) ≠ 0 。可取 0 2 ( ) 0 = > f z ε ，则 ∃δ > 0 ，当 z − z0 < δ 时，有 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 f z f z − f z < ε = 从而 ( ) 2 0 ( ) 0 f z f (z ) − < f z ，即 0 2 0 ( ) 0 f z f (z) > > 即点 z ∈U(z ,δ ) 时，则 。 30．设 f (z) ≠ 0 0 lim ( ) z z f z A = ，证明 → f ( )z 在 的某一去心邻域内是有界的。 证 取 0 z ε =1 ，则存在 δ > 0 ，当 0 0 | < z z − <| δ 时， | ( f z) − A|≤1 。故在 0 0 | < −z z |< δ 内，| ( f z)|= − | ( f z A ) + A|≤| ( f z A ) − | + | A|≤1+ | A|。 31．设 1 ( ) ,( 0) 2i z z f z z z z ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ≠ ⎝ ⎠ 试证当 z → 0时 f ( )z 的极限不存在。 证 2 x 2 1 2 ( ) 2i z z xy f z z z y ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + ，显然。 32．试证arg z(−π < arg z ≤ π ) 在负实轴上（包括原点） 除此而外在 面上处处连续。 证 设 不连续， z 平 f (z) = arg z ，因为 f(0)无定义，所以 f(z)在原点 z=0 处不连续。 当 实轴上的点时，即 0 0 z0为负 0) 0 z = x (x < ，有 ⎩ ⎨ ⎧ − = ⎪ ⎪ ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ − → π x x x lim arctan 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎛ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎛ + = → − → → → π π π y y z y y x z z lim arctan lim arg 0 0 arg 0 不存 ⎝ + x x 0 0 所以 arg z 在负实轴上不连续。而 argz 在 z 平面上的 z lim → z 在，即 z 其它点 处的连续性显然。 15