习题二解答1.利用导数定义推出：1)(=")=nz"-l,(n是正整数);(+)"-z"2"-2Az+...-"-l)= nz"-—证 1)(=")=limlim(nz"Az1111(1)1'=lim2+-2-2)-lim4-→0Az4→0 z(2 +)22．下列函数何处可导？何处解析？(2) f(=)=2x3 +3yi(1) f(-)=x2-iy(3) ()=xy +ixy(4) f()= sin xchy+icos xshy%=2x%=0.%-0%=-1解（1）由于axdyax"ay时，uv才满足C-R条件，故f(a)=u+iv=x-iy仅在在z平面上处处连续，且当且仅当x=2！上可导，在z平面上处处不解析。直线x=2Qu =6x,ou=0,v=0,av=9y（2）由于axayaxay在z平面上处处连续，且当且仅当2x2=3y2,即V/2x±V3y=0时，uV才满足C-R条件，故F(a)=u+iv=2x+3yi仅在直线2x±V3y=0上可导，在z平面上处处不解析。Ov=xu=y,uov=2xy,1=2xy，（3）由于axaxayay在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，uv才满足C-R条件，故f(=)=xy2+ixy仅在点z=0处可导，在，平面处处不解析。Ouauavav= sin xshy ,（4）由于=cosxchy,-sinxshy,=cosxchyaxaxOyoy在z平面上处处连续，且在整个复平面u,v才满足C-R条件，故f(=)=sinxchy+icosxshy在平面处处可导，在平面处处不解析。3.指出下列函数F(-)的解析性区域，并求出其导数。1) (2-1);(2) 23+2iz ;1az+b(4)3)(c,d中至少有一个不为0)22-1cz+d解（1）由于f(=)=5(z-1)*，故f(=)在z平面上处处解析。(2）由于f()=32+2i，知()在z平面上处处解析。22-2=(3）由于f"(=)=(2 -1F - (--1)(2+1)知()在除去点==±1外的z平面上处处可导。处处解析，==±1是()的奇点。1
1 习题二解答 1．利用导数定义推出： 1 2 1 1 1)( )' ,( ) 2 ' n n z nz n z z − ⎛ ⎞ = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 是正整数 ； ） 。 证 1） 1 22 1 1 0 0 ( ) ( )' lim lim( ) n n n n n nn n z z zz z z nz C z z z nz z − − −− ∆→ ∆→ +∆ − = = + ∆+ ∆ = ∆ " 2） 2 0 0 1 1 1 11 ' lim lim ( ) z z z zz z z zz z z ∆→ ∆→ − ⎛ ⎞ + ∆ ⎜ ⎟ = =− =− ⎝ ⎠ ∆ +∆ 2．下列函数何处可导？何处解析？ （1） f ( )z x i y 2 = − （2） 3 3 f () 2 3 i zxy = + （3） f( )z xy x y 2 2 = +i （4） f ( ) sin ch i cos sh z xy xy = + 解 （1）由于 2 , 0, 0, = −1 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x v y u x x u 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2 1 x = − 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( )z = u + i v = x − i y 仅在 直线 2 1 x = − 上可导，在 z 平面上处处不解析。 （2）由于 2 6 u x x ∂ = ∂ ， 0 u y ∂ = ∂ ， 0 v x ∂ = ∂ ， 2 9 v y y ∂ = ∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2 2 2 3, 2 3 0 xy x y = 即 ± = 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 ( ) 3 3 f zuv x y =+ = + i 2 3i 仅在直线 2 30 x y ± = 上可导，在 z 平面上处处不解析。 （3）由于 2 y x u = ∂ ∂ ， xy y u = 2 ∂ ∂ ， xy x v = 2 ∂ ∂ ， 2 x y v = ∂ ∂ 在 z 平面上处处连续，且当且仅当 z=0 时，u,v 才满足 C-R 条件，故 f (z) xy x y 2 2 = + i 仅在点 z = 0 处可导，在 z 平面处处不解析。 （4）由于 cos ch u x y x ∂ = ∂ ， sin sh u x y y ∂ = ∂ ， sin sh v x y x ∂ = − ∂ ， cos ch v x y y ∂ = ∂ 在 z 平面上处处连续，且在整个复平面 u,v 才满足 C-R 条件，故 f ( ) sin ch i cos sh z xy xy = + 在 z 平面处处可导，在 z 平面处处不解析。 3．指出下列函数 f ( )z 的解析性区域，并求出其导数。 1） 5 ( 1) z − ； （2） 3 z z + 2i ； 3） 2 1 z −1 ； （4） ( , 0) az b c d cz d + + 中至少有一个不为 解 （1）由于 ( ) 4 fz z ′ = − 5( 1) ，故 f (z) 在 z 平面上处处解析。 （2）由于 ( ) 3 2i 2 f ′ z = z + ，知 f ( )z 在 z 平面上处处解析。 （3）由于 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 2 − + = − − − ′ = z z z z z f z 知 f ( )z 在除去点 z = ±1外的 z 平面上处处可导。处处解析， z = ±1是 f (z) 的奇点
ad-bc(4) 由于f(=)=知f()在除去z=-d /c(c±O)外在复平面上处处解析。(cz +d)25.复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？答：f(z)在D（区域）内解析f(z)在D内可导F(=)在z。可导f(=)在z。解析f(=)在z连续判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在2。是否解析，只要判定它在z。及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域D内是否解析，只要判定它在D内是否可导：2）利用解析的充要条件，即本章$2中的定理二6.判断下述命题的真假，并举例说明。（1）如果f()在z点连续，那么f(=）存在。(2）如果f(-)存在，那么f(=)在z点解析。(3）如果z是(=)的奇点，那么F(=)在z不可导。(4）如果z是f()和g(z)的一个奇点，那么z.也是f(=)+g(z)和f(=)/g()的奇点。（5）如果u(x,y)和v(x,y)可导（指偏导数存在），那么f()=u+iv亦可导。（6）设f(=)=u+iv在区域内是解析的。如果u是实常数，那么f(=)在整个D内是常数；如果v是实常数，那么f(=)在整个D内是常数：解（1）命题假。如函数()===x2+y2在z平面上处处连续，除了点z=0外处处不可导。（2）命题假，如函数f(=)==在点z=0处可导，却在点z=0处不解析。（3）命题假，如果f(=)在=点不解析，则=。称为f(=)的奇点。如上例。（4）命题假，如f(=)=sinxchy,g(z)=icosxshy，z=（元/2,0)为它们的奇点，但不是f(z)+g(z)的奇点。(5）命题假。如函数f()=zRez=x+ixy仅在点z=0处满足C-R条件，故f(-)仅在点z=0处可导。（6）命题真。由u是实常数，根据C-R方程知v也是实常数，故f(z)在整个D内是常数：后面同理可得。7.如果f()=u+iv是z的解析函数，证明：(%1()] (%1()] =r(2)P证1()+，于是2
2 （4）由于 ( ) 2 ( ) ad bc f z cz d − ′ = + ，知 f (z) 在除去 z d cc = − ≠ / ( 0) 外在复平面上处处解析。 5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？ 答： 判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在 0 z 是否解析，只 要判定它在 0 z 及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域 D 内是否解析，只要判定它在 D 内是否 可导；2）利用解析的充要条件，即本章§2 中的定理二。 6．判断下述命题的真假，并举例说明。 （1）如果 f ( )z 在 0 z 点连续，那么 ( ) 0 f ′ z 存在。 （2）如果 ( ) 0 f ′ z 存在，那么 f ( )z 在 0 z 点解析。 （3）如果 0 z 是 f ( )z 的奇点，那么 f (z) 在 0 z 不可导。 （4）如果 0 z 是 f ( )z 和 g z( )的一个奇点，那么 0 z 也是 f (z gz ) + ( ) 和 f (z gz )/ () 的奇点。 （5）如果uxy (, ) 和vxy (, ) 可导（指偏导数存在），那么 f () i z uv = + 亦可导。 （6）设 f () i z uv = + 在区域内是解析的。如果u 是实常数，那么 f ( )z 在整个 D 内是常数；如 果v 是实常数，那么 f ( )z 在整个 D 内是常数； 解 （1）命题假。如函数 ( ) 2 2 2 f z =| z | = x + y 在 z 平面上处处连续，除了点 z=0 外处处不可导。 （2）命题假，如函数 ( ) 2 f z =| z | 在点 z=0 处可导，却在点 z=0 处不解析。 （3）命题假，如果 0 0 fz z z fz () () 在 点不解析，则 称为 的奇点。如上例。 （4）命题假，如 f ( ) sin ch , ( ) i cos sh z x ygz x y = = ， z = ( / 2,0) π 为它们的奇点，但不 是 f () () z gz + 的奇点。 （5）命题假。如函数 f ( )z z Re z x i xy 2 = = + 仅在点 z=0 处满足 C-R 条件，故 f ( )z 仅在点 z=0 处可导。 （6）命题真。由u 是实常数，根据 C-R 方程知v 也是实常数，故 f ( )z 在整个 D 内是常数； 后面同理可得。 7．如果 f ( )z = u + i v 是 z 的解析函数，证明： ( ) () () 2 2 2 | | | f z | | f ' z | y f z x = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 证 ( ) 2 2 | f z |= u + v ，于是 f ( )z 在 D（区域）内解析 f ( )z 在 0 z 解析 f ( )z 在 D 内可导 f ( )z 在 0 z 可导 f ( )z 在 0 z 连续
Our.voutyay1a0ayay“-1f()=axayVu?+y?Vu2 +y2由于f(a)=u+iv为解析函数，故ou_ayQuOvax"yaxOy从而(([()()2m器+2（-)%2(u() +(9JOaxax[[) (][() (](+)()()Pu?+y29.证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是Qu_1avov1ouarra'arrae证令x=rcose,y=rsine，利用复合函数求导法则和u,v满足c-R条件，得ou_ou"coso+%sinoar"axay-%(-rsino)+%,avursine+Ouurcoso=rourcoso=aeaxdydyaxarou1 av即。又arraeOu_Qursing)+ourcosea0axdyavavayouFcoso+QusisinecOsO+singarayaxayax1(ouau1 aurcosorsiner(ayaxrae总之，有，arraarr10.证明：如果函数f(a)=u+iv在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么f(=)是常数。（1）f(a)恒取实值。（2）)在D内解析。（3）1F(=)I在D内是一个常数。（4）argf(=)在D内是一个常数。（5）au+bv=c，其中a、b与c为不全为零的实常数。3
3 ( ) 2 2 | | u v x v v x u u f z x + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ， ( ) 2 2 | | u v y v v y u u f z y + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 由于 f ( )z = u + i v 为解析函数，故 y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ = − ∂ ∂ ， 从而 ( ) ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 | | | | x v u x u u u v f z y f z x ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + x u x v uv x v x u uv x v v x u v 2 2 2 2 2 2 ( ) () () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | 1 1 u v f z f z u v x v x u v x v x u u u v + = + = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = 9．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ = − ∂ ∂ u r r v 1 证 令 x = r cosθ , y = rsinθ ，利用复合函数求导法则和u,v 满足 C-R 条件，得 cosθ sinθ y u x u r u ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) r u r r x u r y u r y v r x v v ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θ θ θ sin cos sin cos 即 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 。又 ( ) θ θ θ sin r cos y u r x u u ∂ ∂ − + ∂ ∂ = ∂ ∂ cosθ sinθ cosθ sinθ x u y u y v x v r v ∂ ∂ + ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ θ θ θ ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − u r r x u r y u r 1 cos sin 1 总之，有 ∂θ ∂ = ∂ ∂ v r r u 1 ， ∂θ ∂ = − ∂ ∂ u r r v 1 。 10．证明：如果函数 f ( )z = u + iv 在区域 D 内解析，并满足下列条件之一，那么 f ( )z 是常数。 （1） f ( )z 恒取实值。 （2） f ( )z 在 D 内解析。 （3）| f ( )z |在 D 内是一个常数。 （4）arg f ( )z 在 D 内是一个常数。 （5） au + bv = c ，其中 a 、b 与 c 为不全为零的实常数
解（1）若f(=)恒取实值，则v=0，又根据f(=)在区域D内解析，知C-R条件成立，于是Ou-0=0u_a-0axayay-ax故u在区域D内为一常数，记u=C(实常数)，则f(=)=u+iv=C为一常数。(2）若f()=u+iv=u-iv在区域D内解析，则Qu_ a(-v)-_ovQu-_a(-v)_ou(1)ax=dyayayaxax又f(=)=u+iv在区域D内解析，则Qu_ ayOuav(2)ax"ay'axay结合（1）、（2）两式，有ou_ouoy_oy=0,ax"ay"ax故u,v在D内均为常数，分别记之为u,=C,u,=C,(C,C,为实常数)则f()=u+iv=C,+iC, =C为一复常数。（3）若I()I在D内为一常数，记为C，则u2+=C2，两边分别对于x和y求偏导，得[2u0%+20]=0axax2+2=0dy由于()在D内解析，满足C-R条件=5OvOuav代入上式又可写得axay'ayax[or-,o=0axOou+uo=0ax"ayav解得=0。同理，可解得%，=0故u,v均为常数，分别记为u=C,V=C,，则axaxoyvyf(a)=u+iv=C+iC,=C为一复常数。（4）若argz在D内是一个常数C，则f()±0，从而f(=)=u+iv±0，且arctan ,u>0uarg f(-)=arctan一+元,u<0,v>0uarctanu<0,<01C,u>1=3C,+元 u<0,v>0C,-元u<0,v<0总之对argf(a)分别关于x和y求偏导，得4
4 解 （1）若 f ( )z 恒取实值，则v = 0 ，又根据 f (z) 在区域 D 内解析，知 C-R 条件成立，于是 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u ， = 0 ∂ ∂ = − ∂ ∂ x v y u 故 u 在区域 D 内为一常数，记u = C(实常数)，则 f (z) = u + iv = C 为一常数。 （2）若 f ( )z = u + iv = u − iv 在区域 D 内解析，则 ( ) y v y v x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ − = ∂ ∂ ， ( ) x u x v y u ∂ ∂ = ∂ ∂ − = − ∂ ∂ （1） 又 f ( )z = u + iv 在区域 D 内解析，则 y v x u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， x v y u ∂ ∂ = − ∂ ∂ （2） 结合（1）、（2）两式，有 = 0 ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ vy v x v y u x u ， 故u,v 在 D 内均为常数，分别记之为 ( 为实常数) 1 1 2 2 1 2 u = C , u = C C ,C ， 则 f (z) = u + iv = C1 + iC2 = C 为一复常数。 （3）若| f ( )z |在 D 内为一常数，记为C1 ，则 2 1 2 2 u + v = C ，两边分别对于 x 和 y 求偏导，得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 0 2 2 0 y v v y u u x v v x u u 由于 f ( )z 在 D 内解析，满足 C-R 条件 x v y u y v x u ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , 代入上式又可写得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 0 0 y u u x u v y u v x u u 解得 = 0 ∂ ∂ = ∂ ∂ y v x u 。同理，可解得 = 0 ∂ = ∂ ∂ vy v x v 故 u,v 均为常数，分别记为 1 2 u = C ,v = C ，则 f ( )z = u + iv = C1 + iC2 = C 为一复常数。 （4）若arg z 在 D 内是一个常数C1，则 f (z) ≠ 0，从而 f (z) = u + iv ≠ 0 ，且 ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − < < + < > > = arctan , 0, 0 arctan , 0, 0 arctan , 0 arg u v u v u v u v u u v f z π π ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < < + < > > = 0, 0 0, 0 1 1 1 1 C u v C u v C u π π 总之对arg f ( )z 分别关于 x 和 y 求偏导，得