解由题意即(V2ei元/4)"=(V2e-i元/4)",eimx/4=e-inx/4，Sin一元=0M故n=4k,k=0,±l,±2,.….。16.（1）求方程3+8=0的所有根（2）求微分方程y"+8y=0的一般解。(1+2k)解（1)z=(-8)3=2e'3，k=0,1,2。即原方程有如下三个解：1+iv3, -2, 1-i3。（2）原方程的特征方程+8=0有根=1+Vi，=-2，=1-3i，故其一般形式为y=C,e-2* +e'(C,cos/3x+C, sin /3x)17，在平面上任意选一点二，然后在复平面上画出下列各点的位置：1112.2,-Z.y11三218.已知两点=与=2（或已知三点=，2，3）问下列各点位于何处？(1) z=(zf + 22)（2）≥=+(1-）2（其中为实数）(3) ≥=((s1 +22 + =3)。解令z=x+iy，k=1,2,3，则（1）=++i，知点≥位于与z连线的中点。226
解 由题意即 i / 4 i / 4 i / 4 i / 4 ( 2e ) ( 2e ) ,e e π π n n − − nπ nπ = = ，sin 0 ， 4 n π = 故 n k = = 4 , k 0,±1,±2,"。 16．（1）求方程 z 3 + 8 = 0的所有根 （2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。 解 （1） ( ) ( ) 1 i 1 2 3 8 2 3 k z e π + = − = ，k=0,1,2。 即原方程有如下三个解： 1+ i 3, −2, 1− i 3 。 （2）原方程的特征方程λ 3 + 8 = 0有根 1 3 i λ1 = + ，λ2 = −2 ， 1 3i λ3 = − ，故其 一般形式为 y C e e (C x C x) x x 2 cos 3 3 sin 3 2 = 1 + + − 17．在平面上任意选一点 z ，然后在复平面上画出下列各点的位置： 1 1 1 z z, , z, , , z z z − − − 。 o x y z -z z −z 1 z 1 z 1 z − 18．已知两点 z1与 z2 （或已知三点 z1,z2 ,z3 ）问下列各点位于何处？ （1） ( ) 1 2 2 1 z = z + z （2） ( ) 1 1 2 z = λz + − λ z （其中λ 为实数）； （3） ( ) 1 2 3 3 1 z = z + z + z 。 解 令 zk = xk + iyk ,k = 1,2,3，则 （1） 2 i 2 1 2 1 2 x x y y z + + + = ，知点 z 位于 z1 与 z2 连线的中点。 6
(2）=(x)+-(，知点位于与2连线上定比入=-2处。（3）=(++)+(+2+)，由几何知识知点=位于A=2=3的重心处。19.设21,-2,3三点适合条件：21+22+23=0==22=3=1。证明zi，22，Z,是内接于单位圆=1的一个正三角形的顶点。证由于2=22=3=1，知△z,22-的三个顶点均在单位圆上。因为1=|3[ = 2,3=[-(2 + 22)-(2 +22)]= 22 + 22-2 + 23,-2 +222=2+2, +22所以，22 +三(22=-1，又[11 -22/ =(2 -22)(3 -三2)= 2 + 2,22 -(2), + 22)= 2 -(=,, + 三,2)= 3故-2=/，同理3=22=，知,223是内接于单位圆=1的一个正三角形。20.如果复数Z1，Z2，Z3满足等式22 -21 - 21-2323- Z122 - 23证明2,-==,-二=，-2，并说明这些等式的几何意义。由等式得arg(22z)-arg(3z)=arg(zz3)-arg(2-z3)即222123 =z123-2。又因为22 -21 - (2-2)+(21-2) - 32 -2323 - 2/ (±3 - 2.)+ (22 - 23) 22 - 2)又可得z223=z3-2-1，所以知△z-2-3是正三角形，从而[2 -2/= /33 - 2/= /22 - z3 ] 。7
（2） ( ) [ ( )] 2 2 1 2 2 1 z = x − λ x − x + i y − λ y − y ，知点位于 z1与 z2 连线上定比 |z z| |z z| 2 1 1 λ − − = 处。 （3） ( ) ( 1 2 3 1 2 3 3 i 3 1 z = x + x + x + y + y + y )，由几何知识知点 z 位于 的重心 处。 1 2 3 ∆z z z 19．设 z z 1 2 , ,z3三点适合条件： z1 + z2 + z3 = 0 , 1 z1 = z2 = z3 = 。证明z1，z2，z3是内接于单位圆 z = 1的一个正三角形的顶 点。 证 由于 1 z1 = z2 = z3 = ，知 ∆z1z2 z3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 2 3 3 1 = = z z 3 z [ ( )][ ( )] 1 2 1 2 1 1 2 2 3 2 1 2 = − z + z − z + z = z z + z z + z z + z z 2 1 2 1 2 = + z z + z z 所以， 1 z1z2 + z1z2 = − ，又 ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 z − z = z − z z − z = z z + z z − z z + z z = 2 − (z1z2 + z1z2 ) = 3 故 z1 − z2 = 3 ，同理 z1 − z3 = z2 − z3 = 3 ，知 1 2 3 ∆z z z 是内接于单位圆 z = 1 的一个正三角形。 20．如果复数z1，z2，z3满足等式 2 3 1 3 3 1 2 1 z z z z z z z z − − = − − 证明 2 1 3 1 2 3 z − z = z − z = z − z ，并说明这些等式的几何意义。 由等式得 arg( ) arg( ) arg( ) arg( ) 2 1 3 1 1 3 2 3 z − z − z − z = z − z − z − z 即 2 1 3 1 3 2 ∠z z z = ∠z z z 。又因为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 3 1 2 3 2 1 1 3 3 1 2 1 z z z z z z z z z z z z z z z z − − = − + − − + − = − − 又可得 2 1 3 3 2 1 ∠z z z = ∠z z z ，所以知 1 2 3 ∆z z z 是正三角形，从而 2 1 3 1 2 3 z − z = z − z = z − z 。 7
21.指出下列各题中点=的存在范围，并作图。(1)[z-5/=6;(2)[=+2i21;(3) Re(z+2)=-1; (4) Re(i=)=3:(5)[=+iH=-i|;(6)z+3+|z+1=4=-3](7) Im(=)≤2; (8)21z-2（9）0<argz<元；（10）arg(=-i)=元解：（1）以点z。=5为心，半径为6的圆周（见下图（a））：（2）以点zo=-2i为心，半径为1的圆周及外部（见下图（b））：（3）由于Re(z+2)=-1x=-3知点=的范围是直线x=-3（见下图（c）)；（4）近=i(x-iy)=y+ix，故Re(i)=3y=3.知点=的范围是直线J=3（见下图（d));(5) +i=-i+i =-i(+i)(z-i)=(z-i)(+i)-iz+iz+1=+iz-这+1这-iz=02Re(iz)=02y=0=y=0.知点=的范围是实轴（见下图（e)）(6)+3++=4+3=(4-+2x-2=-2+(x-2) =4+3+12x+4y=0（+2+=1，即点=的范围是以（30）和（-1,0）43为焦点，长半轴为2，短半轴为V3的一椭圆（见下图（f)）：（7）y≤2，（见下图（g）)；。(8)-≥1-3-2(2-3)(-3)≥(=-2)(-2)-3-3+925.即点：的范围是直线x=号以及x=号为边22-22425222界的左半平面（见下图（h））；（9）不包含实轴上半平面（见下图（i)）：（10）以i为起点的射线y=x+1,x>0（见下图（j））：8
21．指出下列各题中点 z 的存在范围，并作图。 （1）| 5 z − =| 6 ；（2）| z + 2i |≥ 1； （3）Re(z + 2) = −1；（4） Re( ) iz = 3； （5）| z + i |=| z − i | ；（6）| z + 3 | + | z +1|= 4 （7）Im(z) ≤ 2 ；（8） 1 2 3 ≥ − − z z ； （9）0 a < rg z < π ；（10） ( ) 4 arg i π z − = 解：（1）以点 0 z = 5为心，半径为 6 的圆周（见下图（a））； （2）以点 2i z0 = − 为心，半径为 1 的圆周及外部（见下图（b））； （3）由于Re(z + 2) = −1⇔ x = −3知点 z 的范围是直线 x = −3（见下图（c））； （4）iz = i(x − iy) = y + ix ，故 Re(iz) = 3 ⇔ y = 3.知点 z 的范围是直线 y=3（见下 图（d））； （5） 2 2 z z + =i − i ⇔ z + i = z − i ⇔（z + i)(z − i) = (z − i)(z + i) ⇔ 2 2 z z −i i + z + =1 z + iz − iz + ⇔1 iz − iz = 0 ⇔ 2Re(iz) = 0 ⇔ 2y = 0 ⇒ = y 0.知点 z 的范围是实轴（见下图（e））； （6） 2 2 2 2 z + 3 + z +1 = 4 ⇔ z + 3 = (4 − z +1) ⇔ x − 2 = −2 z +1 ⇔ (x − 2) = 4 z +1 1 4 3 2) 3 12 4 0 2 2 2 2 + = + ⇔ + + = ⇔ x y x y （ ，即点 z 的范围是以（-3,0）和（-1,0） 为焦点，长半轴为 2，短半轴为 3 的一椭圆（见下图（f））； （7） y ≤ 2，（见下图（g））；。 （8） ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ − − ≥ − − ⇔ − − + ≥ − − 1 3 2 ( 3)( 3) ( 2)( 2) 3 3 9 2 3 2 2 2 z z z z z z z z z z z 2 5 2 2 4 5 .即点 z 的范围是直线 2 z z − − z + ⇔ z + z ≤ ⇔ x ≤ 2 5 x = 以及 2 5 x = 为边 界的左半平面（见下图（h））； （9）不包含实轴上半平面（见下图（i））； （10）以 i 为起点的射线 y = x +1, x > 0 （见下图（j））； 8
(b)V3i30x(c)(d)A2iy/3i.1-2x(f)ge)y=x+11￥05/2X(h)(i)(①)22．描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的单连的还是多连的。(1)Imz>0;(2) -1>4;(4) 2≤≤3;(3)0<Rez<l:(5)=-1<=+3;(6) -1<argz<-1+元;9
x y -2 (b) O i 5 x (a) y O -3 (d) y 3i O x (c) x y z -i i y x 3i -2 O y 5/2 x x y=x+1 i y O (e) (f) (g) (h) (i) 2i (j) 22．描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的， 单连的还是多连的。 （1） Im z > 0； （2） z −1 > 4 ； （3）0 < Re z < 1； （4）2 3 ≤ z ≤ ； （5） z −1 < z + 3 ； （6） −1 a < < rg z −1+π ； 9
（7）-<4+；8）[z-2/+z+2飞6;(9) [=-2|-[z+2>1;(10) zz-(2+i)z-(2-i)z≤4。解（1）Imz>00x不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。(2) -1>4x圆（z-1)2+y2=16的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。(3)0<Rez<10x由直线x=0与x=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。y4(4) 2≤|≤310
（7） z −1 < 4 z +1 ； （8）| 2 z z − | + + | 2 |≤ 6 ； （9） z z − − 2 | + 2 |>1； （10） zz − (2 + − i)z (2 −i)z ≤ 4。 解 （1） Im z > 0 y O x 不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。 （2） z −1 > 4 x y O 5 1 圆(z −1) 2 + y 2 = 16 的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。 （3）0 < Re z < 1 由直线 x = 0 与 x = 1 所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的 单连通区域。 O x y O 2 3 x y （4）2 3 ≤ ≤ z 10