晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于Gh,⊥(ABC) 可以证明： =OA 2π dahnls G Giah 由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这2个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点)就能综合地表达出来
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 可以证明： 123 G ABC hh h ⊥ ( ) JG 123 123 123 123 hh h 2 hh h hh h hh h G d OA G G π = = JG JJJG i JG JG 由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的 2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来
(hkl) Gnkl =Ghkiln 0 (a/h) Figure 1-49 Construction for the determination of the spacing between successive (hkl)planes. 上述第4点的图示。见Blakemore p70
上述第4点的图示。见Blakemore p70
5.正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵a,a2,a3给出倒易 点阵b1,b2,3现假定b1,b2,b为正点阵，则其 倒易点阵根据定义：一c,=2元(2×) 利用三重矢积公式：Ax(BxC)=B(AC)-C(AB) 可以得到不×系-晋aa日aa)-2a Ω 又因为： 2.2=b1(b2×b3)2=(2π)2(a1b1)=(2π) 所以： 0- 2π(2π)2-- a1=a1 Ω Ω 同样可以证明：C2=a2,C3=Q3
5. 正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵 给出倒易 点阵 现假定 为正点阵，则其 倒易点阵根据定义为： bbb 123 , , G G G 2 3 1 * 2 c bb ( ) π = × Ω G G 2 23 31 12 1 2 2 (2 ) bb aa aa a ( )( ) ππ π ×= × × × = ΩΩ Ω G G GG GG G A×× = − ( )( )( ) B C B AC C AB JG JG JG JG JG JG JG JG JG 利用三重矢积公式： i i 可以得到： * 23 Ω ⋅Ω = × ⋅Ω = = b b b ab 1 2 3 11 ( ) (2 ) ( ) (2 ) π π G G G GG i i 2 1 11 * 2 (2 ) c aa π π = = Ω Ω G G G 又因为： 所以： c ac a 2 23 3 = = , , G GG G 同样可以证明： bbb 123 , , GGG aaa 123 , , G G G
三.倒易点阵(Reciprocal lattice)的物理意义： 倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中 作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 当一个点阵具有位移矢量Rm=n,a1+n,a2+na3 时，考虑到周期性特点，一个物理量在r点的数值「() 也应该具有周期性：『(r)=T(r+R) 两边做Fourier展开，有： >I(G)exp(iG)=>I(G)exp(iG)exp(iGw-R.) 显然： exp(iGnkI-Rn)=1, 即： G-Rn=2πm 既然R是正点阵的格矢，符合该关系的 Ghkt 就是倒易点阵 的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系
三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义： 倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中 作为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 当一个点阵具有位移矢量 时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 也应该具有周期性： 两边做Fourier展开，有： 显然： 即： 123 11 1 Rn =++ na na na JG GGG Γ( )r Γ =Γ + () ( ) r rRn G G JG ( ) exp( ) ( ) exp( ) exp( ) hkl hkl hkl hkl hkl n K K ∑ ∑ Γ =Γ G iG r G iG r iG R JG JG G JG JG G JG JG i ii exp( ) 1, 2 m hkl n hkl n iG R G R π = = JG JG i JG JG i 既然 是正点阵的格矢，符合该关系的 就是倒易点阵 的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系。 Rn JG Ghkl JG
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的 Fourier?变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度1，称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数卜1，称作波矢空间。例如：正点阵 取cm,倒易点阵是cm-1,下面我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联 系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周 期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物 理性质的基本特征
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的 物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 l, 称作坐标空间，倒格子 的量钢是长度的倒数 l-1，称作波矢空间。例如：正点阵 取cm,倒易点阵是cm-1, 下面我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。 倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有 2个点阵与其相联 系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周 期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物 理性质的基本特征